Resum conceptes bàsics: complexos i vectors

Forma binòmica d'un nombre complex

Un complex en forma binòmica s'expressa    . A la    li diem la part real i a la   li diem la part imaginària i són dos nombre reals.
Dos nombres complexos són iguals si tenen la mateixa expressió en forma binòmica, és a dir si són iguals les seves parts reals i les seves parts imaginàries.
Exemples:

•   és un complex amb part real 3 i part imaginària 2.
•      és un complex amb part real 4 i part imaginària -1. (Recordar que el coeficient 1 no es posa)
  
•          és un complex amb part real 0 i part imaginària 2.(Aquest tipus de nombres es solen anomenar imaginaris purs)
  
•            és un complex amb part real 5 i part imaginària 0. Observeu per tant, que els nombres reals són un cas particular de nombre complex amb part imaginària 0, per això diem que els nombres complexos contenen els reals.
  

Conjugat i oposat d'un complex

Donat un complex li diem conjugat de z a un nou complex amb la mateixa part real i la part imaginària canviada de signe, el representem amb una barra dalt . És a dir  .

Donat un complex li diem oposat de z a un nou complex que té tant la part real com la part imaginària canviada de signe, el representem amb un signe negatiu davant  . És a dir,  

Exemples:

•   el conjugat és i l'oposat és
  
•      el conjugat és   i l'oposat és
  
•          el conjugat és   i l'oposat és
  
•            el conjugat és   i l'oposat és
  

Operacions en forma binòmica

• Suma i resta  fer sumes i restes amb complexos en forma binòmica equival a sumar o restar les parts reals entre elles i les parts imaginàries entre elles.

                                                                                

• Potències de la .
  Observem que passa amb les potències de la a partir de la seva definició :
  

          És a dir, si hem de fer una potència gran de la i, dividirem l'exponent entre 4 i ens quedarem amb el residu (que sempre serà un nombre entre 0 i 3).
          Per exemple, com podem expressar ? Comencem agafant l'exponent 105 i el dividim entre 4.
          Observem que el quocient és 26 i el residu 1, per tant això vol dir que
          

• Multiplicar nombres complexos per multiplicar dos complexos escrits en forma binòmica, cal procedir de la mateixa manera que fem quan multipliquem expressions algebraiques, tenint en compt el que . S'aplica la propietat distributiva, es fa servir la definició de la unitat imaginària i finalment es simplifica deixant un sol terme real i un d'imaginari.               
  

• Dividir complexos en forma binòmica, multipliquem numerador i denominador pel conjugat d'aquest últim. Després, es fan operacions en el numerador i en el denominador; fins aconseguir que al denominador només apareguin nombres reals.
  

• Multiplicar un complex per un escalar real

                            

Exemples:

Considerem els següents complexos : i a partir d'ells fem alguns càlculs.
  

•  

•  

• 

En aquest document: Complexos en forma binòmica trobareu  més exemples resolts.