Resum geometria mètrica: Distància entre dos plans

5. Distància entre elements de l'espai

5.5. Distància entre dos plans

Distància entre dos plans $negrita pi negrita espacio negrita i negrita espacio negrita espacio negrita pi negrita apóstrofo$

a) Plans coincidents o secants.

$bold italic d negrita paréntesis izquierdo negrita pi negrita coma negrita pi negrita apóstrofo negrita paréntesis derecho negrita igual negrita 0$

b) Plans paral·lels.

En aquest cas la distància entre els dos plans la podem trobar de dues maneres:

1. La distància entre els dos plans serà la distància d'un punt qualsevol d'un dels plans a l'altre pla.

Per tant, trobem un punt P qualsevol del pla $normal pi$ , i llavors:

$bold italic d negrita paréntesis izquierdo negrita pi negrita coma negrita pi negrita apóstrofo negrita paréntesis derecho negrita igual bold italic d negrita paréntesis izquierdo bold italic P negrita coma negrita pi negrita apóstrofo negrita paréntesis derecho$

2. Donats dos plans paral·lels:

$normal pi dos puntos espacio espacio espacio Ax más By más Cz más normal D igual 0 normal pi apóstrofo dos puntos espacio Ax más By más Cz más normal D apóstrofo igual 0$

Llavors:

$bold italic d negrita paréntesis izquierdo negrita pi negrita coma negrita pi negrita apóstrofo negrita paréntesis derecho negrita igual fracción numerador abrir barra vertical negrita D negrita menos negrita D negrita apóstrofo cerrar barra vertical entre denominador raíz cuadrada de negrita A elevado a negrita 2 negrita más negrita B elevado a negrita 2 negrita más negrita C elevado a negrita 2 fin raíz fin fracción$

Atenció: fixeu-vos que per poder aplicar aquesta fórmula, els dos plans han d’estar donats amb
els mateixos coeficients de x, y, z. Això sempre serà possible si els plans són paral·lels.

Per exemple, els plans

$normal pi dos puntos espacio espacio espacio normal x menos 2 normal y más normal z más 2 igual 0 normal pi apóstrofo dos puntos espacio 3 normal x menos 6 normal y más 3 normal z más 5 igual 0$

són paral·lels, d'acord?

llavors si l'equació del pla $normal pi apóstrofo$ la dividim tota entre 3, ens queda:

$normal pi apóstrofo dos puntos espacio espacio x menos 2 y más z más fracción 5 entre 3 igual 0$

Ara $normal pi apóstrofo$ sí el tenim amb els mateixos coeficients de x, y, z que $normal pi$ i ja podrem aplicar la fórmula:

$normal pi dos puntos espacio espacio espacio normal x menos 2 normal y más normal z más 2 igual 0 normal pi apóstrofo dos puntos espacio espacio normal x menos 2 normal y más normal z más fracción 5 entre 3 igual 0$

$d paréntesis izquierdo normal pi coma normal pi apóstrofo paréntesis derecho igual fracción numerador abrir barra vertical 2 menos estilo mostrar fracción 5 entre 3 fin estilo cerrar barra vertical entre denominador raíz cuadrada de 1 al cuadrado más paréntesis izquierdo menos 2 paréntesis derecho al cuadrado más 1 al cuadrado fin raíz fin fracción igual fracción numerador estilo mostrar 1 tercio fin estilo entre denominador 6 fin fracción igual fracción 1 entre 16$

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