Resum geometria mètrica: Distància entre dos plans

5. Distància entre elements de l'espai

5.5. Distància entre dos plans

Distància entre dos plans $negreta pi negreta espai negreta i negreta espai negreta espai negreta pi negreta apòstrof$

a) Plans coincidents o secants.

$bold italic d negreta parèntesi esquerre negreta pi negreta coma negreta pi negreta apòstrof negreta parèntesi dret negreta igual negreta 0$

b) Plans paral·lels.

En aquest cas la distància entre els dos plans la podem trobar de dues maneres:

1. La distància entre els dos plans serà la distància d'un punt qualsevol d'un dels plans a l'altre pla.

Per tant, trobem un punt P qualsevol del pla $normal pi$ , i llavors:

$bold italic d negreta parèntesi esquerre negreta pi negreta coma negreta pi negreta apòstrof negreta parèntesi dret negreta igual bold italic d negreta parèntesi esquerre bold italic P negreta coma negreta pi negreta apòstrof negreta parèntesi dret$

2. Donats dos plans paral·lels:

$normal pi dos punts espai espai espai Ax més By més Cz més normal D igual 0 normal pi apòstrof dos punts espai Ax més By més Cz més normal D apòstrof igual 0$

Llavors:

$bold italic d negreta parèntesi esquerre negreta pi negreta coma negreta pi negreta apòstrof negreta parèntesi dret negreta igual fracció numerador obre barra vertical negreta D negreta menys negreta D negreta apòstrof tanca barra vertical entre denominador arrel quadrada de negreta A elevat a negreta 2 negreta més negreta B elevat a negreta 2 negreta més negreta C elevat a negreta 2 fi arrel fi fracció$

Atenció: fixeu-vos que per poder aplicar aquesta fórmula, els dos plans han d’estar donats amb
els mateixos coeficients de x, y, z. Això sempre serà possible si els plans són paral·lels.

Per exemple, els plans

$normal pi dos punts espai espai espai normal x menys 2 normal y més normal z més 2 igual 0 normal pi apòstrof dos punts espai 3 normal x menys 6 normal y més 3 normal z més 5 igual 0$

són paral·lels, d'acord?

llavors si l'equació del pla $normal pi apòstrof$ la dividim tota entre 3, ens queda:

$normal pi apòstrof dos punts espai espai x menys 2 y més z més fracció 5 entre 3 igual 0$

Ara $normal pi apòstrof$ sí el tenim amb els mateixos coeficients de x, y, z que $normal pi$ i ja podrem aplicar la fórmula:

$normal pi dos punts espai espai espai normal x menys 2 normal y més normal z més 2 igual 0 normal pi apòstrof dos punts espai espai normal x menys 2 normal y més normal z més fracció 5 entre 3 igual 0$

$d parèntesi esquerre normal pi coma normal pi apòstrof parèntesi dret igual fracció numerador obre barra vertical 2 menys estil mostrar fracció 5 entre 3 fi estil tanca barra vertical entre denominador arrel quadrada de 1 al quadrat més parèntesi esquerre menys 2 parèntesi dret al quadrat més 1 al quadrat fi arrel fi fracció igual fracció numerador estil mostrar 1 terç fi estil entre denominador 6 fi fracció igual fracció 1 entre 16$

Propietat intel·lectual i drets d'autoria

5. Distància entre elements de l'espai

5.5. Distància entre dos plans