Resum geometria mètrica: Posició relativa entre recta i pla

3. Posició relativa entre recta i pla

Donats la recta i el pla d'equacions:

$r deux points accolade ouverte tableau d'attributs aligné sur la left fin des attributs ligne cellule A indice 1 x plus B indice 1 y plus C indice 1 z plus D indice 1 égal à 0 fin de cellule ligne cellule A indice 1 x plus B indice 1 y plus C indice 1 z plus D indice 1 égal à 0 fin de cellule fin de tableau fin espace espace espace espace espace espace espace pi majuscule deux points espace A x plus B y plus C z plus D égal à 0$

per estudiar la seva posició relativa o podem veure de dues maneres:

a) Considerant les matrius

$M égal à ouvrir la parenthèse table ligne cellule A indice 1 fin de cellule cellule B indice 1 fin de cellule cellule C indice 1 fin de cellule ligne cellule A indice 2 fin de cellule cellule B indice 2 fin de cellule cellule C indice 2 fin de cellule ligne A B C fin de table fermer la parenthèse espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace M apostrophe égal à ouvrir la parenthèse table ligne cellule A indice 1 fin de cellule cellule B indice 1 fin de cellule cellule C indice 1 espace espace moins D indice 1 fin de cellule ligne cellule A indice 2 fin de cellule cellule B indice 2 fin de cellule cellule C indice 2 espace espace moins D indice 2 fin de cellule ligne A B cellule C espace espace espace espace moins D fin de cellule fin de table fermer la parenthèse$

Llavors:

	rang M	rang M'
Recta continguda en el pla	2	2
Recta i pla paral·lels	2	3
Recta i pla secants	3	3

Exemple:

b) A partir del vector director i un punt de la recta y el vector normal del pla:

recta r: vector director $u avec flèche vers la droite au-dessus$ , punt A

pla Π: vector normal $n avec flèche vers la droite au-dessus$

Recta continguda en el pla:

$gras u avec gras flèche vers la droite au-dessus gras fois gras n avec gras flèche vers la droite au-dessus gras égal à gras 0 gras espace gras espace gras espace gras espace gras espace bold italic i gras espace gras espace gras espace gras espace bold italic A gras appartient à gras pi$

Recta i pla paral·lels:

Recta i pla secants:

$gras u avec gras flèche vers la droite au-dessus gras fois gras n avec gras flèche vers la droite au-dessus gras pas égal à gras 0 gras espace$

Exemple

Com a cas particular de recta i pla secants es pot considerar el cas de recta i pla perpendiculars. La recta i el pla seran perpendiculars quan el vector

u avec flèche vers la droite au-dessus

director de la recta r , i el vector i el vector normal

n avec flèche vers la droite au-dessus

pla Π siguin paral·lels. O sigui:

$v avec flèche vers la droite au-dessus égal à k n avec flèche vers la droite au-dessus$

O expressat en components:

$u avec flèche vers la droite au-dessus égal à parenthèse gauche u indice 1 virgule u indice 2 virgule u indice 3 parenthèse droite n avec flèche vers la droite au-dessus égal à parenthèse gauche n indice 1 virgule n indice 2 virgule n indice 3 parenthèse droite$ $u indice 1 sur n indice 1 égal à numérateur de la fraction début de style affichage u indice 2 fin de style au-dessus du dénominateur début de style affichage n indice 2 fin de style fin de la fraction égal à numérateur de la fraction début de style affichage u indice 3 fin de style au-dessus du dénominateur début de style affichage n indice 3 fin de style fin de la fraction$

Exemple

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