Resum Sistemes d'equacions : Classificació sistema d'equacions: Teorema Rouché-Fröbenius

5. Classificació sistema d'equacions: Teorema Rouché-Fröbenius

Donat un sistema d'equacions lineals, sigui

M la matriu associada al sistema

M' la matriu ampliada

Teorema de Rouché-Frobenius:

$envoltori caixa per Si negreta espai bold italic r bold italic a bold italic n bold italic g negreta espai negreta M negreta espai negreta no igual negreta espai bold italic r bold italic a bold italic n bold italic g negreta espai negreta M negreta apòstrof espai fletxa doble dreta espai sistema negreta espai negreta incompatible per Si espai bold italic r bold italic a bold italic n bold italic g negreta espai negreta M negreta espai negreta igual bold italic r bold italic a bold italic n bold italic g negreta espai negreta M negreta apòstrof igual normal r espai espai fletxa doble dreta obre claus taula atributs alineació columna left fin atributs fila cel·la Si negreta espai negreta r negreta igual negreta nombre negreta espai negreta d negreta apòstrof negreta incògnites espai espai fletxa doble dreta espai negreta compatible negreta espai negreta determinat espai fi cel·la fila cel·la Si espai negreta r negreta menor que negreta nombre negreta espai negreta d negreta apòstrof negreta incògnites espai espai fletxa doble dreta espai negreta compatible negreta espai negreta indeterminat fi cel·la fi taula tanca fi envoltori$

$Exemple espai 1$

Classifiqueu el sistema:

$obre taula fila cel·la x menys 2 y més 3 z igual 3 fi cel·la fila cel·la 2 x més y menys z igual 1 fi cel·la fila cel·la menys x menys 3 y més 4 z igual menys 1 fi cel·la fi taula tanca claus$

Esglaonem la matriu ampliada per tal de calcular els rangs de la matriu associada i de l'ampliada:

$obre parèntesis envoltori per la dreta taula fila 1 cel·la menys 2 fi cel·la 3 fila 2 1 cel·la menys 1 fi cel·la fila cel·la menys 1 fi cel·la cel·la menys 3 fi cel·la 4 fi taula fi envoltori taula fila 3 fila 1 fila cel·la menys 1 fi cel·la fi taula tanca parèntesis fletxa dreta espai espai taula fila blank fila cel·la menys negreta 2 f subíndex 1 més f subíndex 2 espai fi subíndex fi cel·la fila cel·la negreta espai negreta espai negreta espai f subíndex 1 més f subíndex 3 fi cel·la fi taula espai obre parèntesis envoltori per la dreta taula fila 1 cel·la menys 2 fi cel·la 3 fila 0 5 cel·la menys 7 fi cel·la fila 0 cel·la menys 5 fi cel·la 7 fi taula fi envoltori taula fila 3 fila cel·la menys 5 fi cel·la fila 2 fi taula tanca parèntesis espai espai espai espai fletxa dreta espai espai espai espai taula fila blank fila blank fila cel·la f subíndex 2 més f subíndex 3 fi cel·la fi taula espai espai obre parèntesis envoltori per la dreta taula fila 1 cel·la menys 2 fi cel·la 3 fila 0 5 cel·la menys 7 fi cel·la fila 0 0 0 fi taula fi envoltori taula fila 3 fila cel·la menys 5 fi cel·la fila cel·la menys 3 fi cel·la fi taula tanca parèntesis espai$

Recordem que el rang d'una matriu, un cop esglaonada, és el nombre de files no nul·les:

$obre taula atributs alineació columna right fin atributs fila cel·la rang espai normal M igual 2 espai fi cel·la fila cel·la rang espai normal M apòstrof igual 3 fi cel·la fi taula tanca claus espai fletxa doble dreta espai negreta espai negreta Sistema negreta espai negreta incompatible espai$

$Exemple espai 2$

Classifiqueu el sistema:

$obre taula fila cel·la x menys 2 y més 3 z igual 3 fi cel·la fila cel·la 2 x més y menys z igual 1 fi cel·la fila cel·la menys x menys 3 y més 4 z igual 2 fi cel·la fi taula tanca claus$

Esglaonem la matriu ampliada per tal de calcular els rangs de la matriu associada i de l'ampliada:

$obre parèntesis envoltori per la dreta taula fila 1 cel·la menys 2 fi cel·la 3 fila 2 1 cel·la menys 1 fi cel·la fila cel·la menys 1 fi cel·la cel·la menys 3 fi cel·la 4 fi taula fi envoltori taula fila 3 fila 1 fila 2 fi taula tanca parèntesis fletxa dreta espai espai taula fila blank fila cel·la menys negreta 2 f subíndex 1 més f subíndex 2 espai fi subíndex fi cel·la fila cel·la negreta espai negreta espai negreta espai f subíndex 1 més f subíndex 3 fi cel·la fi taula espai obre parèntesis envoltori per la dreta taula fila 1 cel·la menys 2 fi cel·la 3 fila 0 5 cel·la menys 7 fi cel·la fila 0 cel·la menys 5 fi cel·la 7 fi taula fi envoltori taula fila 3 fila cel·la menys 5 fi cel·la fila 5 fi taula tanca parèntesis espai espai espai espai fletxa dreta espai espai espai espai taula fila blank fila blank fila cel·la f subíndex 2 més f subíndex 3 fi cel·la fi taula espai espai obre parèntesis envoltori per la dreta taula fila 1 cel·la menys 2 fi cel·la 3 fila 0 5 cel·la menys 7 fi cel·la fila 0 0 0 fi taula fi envoltori taula fila 3 fila cel·la menys 5 fi cel·la fila 0 fi taula tanca parèntesis espai$

Recordem que el rang d'una matriu, un cop esglaonada, és el nombre de files no nul·les:

$obre taula atributs alineació columna right fin atributs fila cel·la rang espai normal M igual 2 espai fi cel·la fila cel·la rang espai normal M apòstrof igual 2 fi cel·la fi taula tanca claus espai fletxa doble dreta espai negreta espai Sistema espai compatible negreta espai negreta espai espai és espai un espai sistema espai de espai 3 espai incògnites dos punts espai fi normal x coma espai normal y coma espai normal z negreta espai negreta espai espai espai r a n g espai M igual r a n g espai M apòstrof igual 2 espai espai menor que espai n o m b r e espai i n c ó g n i t e s espai igual 3 espai espai espai espai fletxa doble dreta espai bold italic S bold italic i bold italic s bold italic t bold italic e bold italic m bold italic a negreta espai bold italic c bold italic o bold italic m bold italic p bold italic a bold italic t bold italic i bold italic b bold italic l bold italic e negreta espai bold italic i bold italic n bold italic d bold italic e bold italic t bold italic e bold italic r bold italic m bold italic i bold italic n bold italic a bold italic t espai$

Vídeo: Exemple de sistema incompatible (no té solució)

Vídeo: Significat del rang en el tipus de sistema

Propietat intel·lectual i drets d'autoria

5. Classificació sistema d'equacions: Teorema Rouché-Fröbenius