Resum Sistemes d'equacions

1. Notació matricial

Donat un sistema d'equacions lineals

li associarem dues matrius:

Matriu associada al sistema (o matriu de coeficients del sistema): formada pels coeficients

Matriu ampliada: formada pels coeficients i els termes independents 

2. Equivalència de sistemes

Dos sistemes d'equacions són equivalents si tenen les mateixes solucions.

Transformacions d'equivalència de sistemes

Si apliquem les següents transformacions a un sistema d'equacions, obtenim un sistema equivalent:

- Canviar d'ordre les equacions.

- Multiplicar una equació per un nombre diferent de zero. En particular: canviar tots els signes d'una equació.

- Sumar a una equació altra equació multiplicada per un nombre.

3. Tipus de sistemes

Sistemes d'equacions lineals.

Són sistemes del tipus: 

on les a_ij són nombres i diem que són els coeficients del sistema,
     les b_i són els termes independents del sistema,
     les x_i són les variables o incògnites del sistema

El que hem escrit és un sistema general de m equacions i n incògnites. 

Una solució (s_1, s₂, ... s_n) és solució del sistema si verifica simultàniament totes les equacions.

Fins ara hem treballat amb els sistemes de 2 equacions i 2 incògnites.

En aquest lliurament principalment treballarem amb sistemes de 3 equacions i 3 incògnites que designarem, de manera més pràctica, per x, y i z. 

Exemples:

  és un sistema de 3 equacions i 3 incògnites. Solució (1,2,1)

   no és un sistema d'equacions lineal. No tractarem aquest tipus de sistema.

Tipus de sistemes d'equacions

Els sistemes d'equacions, atenent al nombre de solucions que tenen, es poden classificar en:

4. Mètode de Gauss

Primer de tot veiem que la resolució d'un sistema esglaonat  i desprès veurem el mètode de Gauss per a la resolució de qualsevol sistema d'equacions.

Resolució d'un sistema esglaonat

Exemple de sistema esglaonat:

Veiem que començant per la última equació la resolució és immediata.

Mètode de Gauss

Donat un sistema d'equacions del qual volem trobar la solució, consisteix en obtenir un sistema esglaonat equivalent al donat fent transformacions elementals.

Si expressem el sistema matricialment, això equival a dir que fem transformacions elementals en les files per obtenir una matriu esglaonada. 

Ho veurem amb un exemple.

Exemple

Considerem la matriu ampliada (formada pels coeficients i els termes independents): 

Esglaonem la matriu (Està explicat en el lliurament 1 en l'apartat Esglaonar una matriu ):

Ara començant per la última fila tenim:

En la segona fil tenim:

I substituint aquest valors en la primera:

5. Classificació sistema d'equacions: Teorema Rouché-Fröbenius

Donat un sistema d'equacions lineals, sigui

    M la matriu associada al sistema

    M' la matriu ampliada

Teorema de Rouché-Frobenius:

Classifiqueu el sistema: 

Esglaonem la matriu ampliada per tal de calcular els rangs de la matriu associada i de l'ampliada: 

Recordem que el rang d'una matriu, un cop esglaonada, és el nombre de files no nul·les:

Classifiqueu el sistema: 

Esglaonem la matriu ampliada per tal de calcular els rangs de la matriu associada i de l'ampliada: 

Recordem que el rang d'una matriu, un cop esglaonada, és el nombre de files no nul·les:

Vídeo: Exemple de sistema incompatible (no té solució)

Vídeo: Significat del rang en el  tipus de sistema

6. Solucions d'un sistema compatible indeterminat

7. Canvi de files o columnes en la matriu associada a un sistema d'equacions.

8. Exemple sistema depenent d'un paràmetre

Exemple

Discutiu (o classifiqueu)  el sistema segons els valors del paràmetre k:

Ho farem per Gauss:

Si es pot, passarem l'equació que té el paràmetre a la última fila. I la 2a equació, que té primer coeficient 1, la passarem a dalt de tot. Ens quedarà:

Un cop esglaonada ja podem fer la discussió dels rangs i el tipus de sistema depenent del valor de k.

Discussió del sistema

En aquest cas, la discussió depèn de si k-7=0  o no ja que :

     Fixeu-vos que ens quedaria:  aquesta equació no té solució.