Previous
Next

6. Solucions d'un sistema compatible indeterminat

Farem un exemple de discussió i resolució de sistema compatible indeterminat.

El sistema és:

open table attributes columnalign right end attributes row cell 3 x minus 2 y plus 7 z equals 1 end cell row cell x minus 5 y plus 2 z equals 8 end cell row cell negative 2 x plus 10 y minus 4 z equals negative 16 end cell end table close curly brackets rightwards double arrow space space open parentheses table row 3 cell negative 2 end cell 7 1 row 1 cell negative 5 end cell 2 8 row cell negative 2 end cell 10 cell negative 4 end cell cell negative 16 end cell end table close parentheses

fixeu-vos que podem intercanviar les dues primeres files (per tal de que el primer element sigui un 1) i fins i tot podem dividir per 2 la tercera fila. D'aquesta manera tenim:

open parentheses table row 1 cell negative 5 end cell 2 8 row 3 cell negative 2 end cell 7 1 row cell negative 2 end cell 10 cell negative 4 end cell cell negative 16 end cell end table close parentheses

esglaonant:

open parentheses table row 1 cell negative 5 end cell 2 8 row 3 cell negative 2 end cell 7 1 row cell negative 2 end cell 10 cell negative 4 end cell cell negative 16 end cell end table close parentheses rightwards arrow open parentheses table row 1 cell negative 5 end cell 2 8 row 0 13 1 cell negative 23 end cell row 0 0 0 0 end table close parentheses

Discussió (classificació):

(Teorema Rouché-Fröbenius)

rang matriu coeficients = rang matriu ampliada = 2 => compatible

rang = 2 < nombre d'incògnites = 3 => compatible indeterminat

les infinites solucions es poden expressar en funció d'1 paràmetre (ja que la diferència entre el nombre d'incògnites i el rang és 1)

Solució:

Començant per la 2a equació:

13y + z = -23

agafarem y com el paràmetre λ

13y + z = -23 => z = -13λ - 23

substituint en la 1a equació x -5y +2z =8 queda:

x - 5λ + 2(-13λ - 23) = 8 => x - 5λ - 26λ - 46 = 8 =>

x = 54 + 31λ

Per tant les solucions són

open curly brackets table row cell bold x bold equals bold 54 bold plus bold 31 bold lambda bold space bold space bold space bold space bold space end cell row cell bold y bold equals bold lambda bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space end cell row cell bold z bold equals bold minus bold 13 bold lambda bold minus bold 23 end cell end table close space space space space for all straight lambda element of IR

(for all lambda element of straight real numbers es llegeix com "per a tot lambda pertanyent als reals", vol dir simplement que lambda pot ser qualsevol nombre real)

o bé les podem expressar com:

left parenthesis bold 54 bold plus bold 31 bold lambda bold comma bold space bold space bold lambda bold comma bold space bold minus bold 13 bold lambda bold minus bold 23 bold right parenthesis

Vídeo   Un altra exemple  de compatible indeterminat :

      https://www.youtube.com/watch?v=0GovaC_0wwE&t=1s


Previous
Next