Previous
Next

3. Solucions d'un sistema compatible indeterminat

Discussió i resolució de sistema compatible indeterminat.

Exemple 1

open table attributes columnalign right end attributes row cell x plus 2 y minus z equals 3 end cell row cell negative x plus 3 y plus 4 z equals negative 1 end cell row cell 2 x minus y minus 5 z equals 4 end cell end table close curly brackets rightwards double arrow space space open parentheses table row 1 2 cell negative 1 end cell 3 row cell negative 1 end cell 3 4 cell negative 1 end cell row 2 cell negative 1 end cell cell negative 5 end cell 4 end table close parentheses

 Mètode de Gauss. Esglaonem: 

 space space open parentheses table row 1 2 cell negative 1 end cell 3 row cell negative 1 end cell 3 4 cell negative 1 end cell row 2 cell negative 1 end cell cell negative 5 end cell 4 end table close parentheses space space space rightwards arrow space space table row blank row cell f subscript 2 plus f subscript 1 end cell row cell f subscript 3 minus 2 f subscript 1 end cell end table space open parentheses table row 1 2 cell negative 1 end cell 3 row 0 5 3 2 row 0 cell negative 5 end cell cell negative 3 end cell cell negative 2 end cell end table close parentheses space space rightwards arrow space table row blank row blank row cell f subscript 3 plus f subscript 2 end cell end table space open parentheses table row 1 2 cell negative 1 end cell 3 row 0 5 3 2 row 0 0 0 0 end table close parentheses

Discussió (classificació):

(Teorema Rouché-Fröbenius)

rang matriu coeficients = rang matriu ampliada = 2 => compatible

rang = 2 < nombre d'incògnites = 3 => compatible indeterminat

les infinites solucions es poden expressar en funció d'1 paràmetre (ja que la diferència entre el nombre d'incògnites i el rang és 1)

Solució:

Començant per la 2a equació:

5 y plus 3 z equals 2

agafarem z com el paràmetre λ    z= λ 

5 y plus 3 lambda equals 2 5 y equals 2 minus 3 lambda space space space space bold space bold italic y bold equals bold 2 over bold 5 bold minus bold 3 over bold 5 bold italic lambda

substituint en la 1a equació begin mathsize 14px style x plus 2 y minus z equals 3 end style tenim:

x plus 2 open parentheses 2 over 5 minus fraction numerator 3 lambda over denominator 5 end fraction close parentheses minus lambda equals 3 x plus 4 over 5 minus fraction numerator 6 lambda over denominator 5 end fraction minus lambda equals 3 x equals 3 minus 4 over 5 plus fraction numerator 6 lambda over denominator 5 end fraction plus lambda space space space space bold italic x bold equals bold 11 over bold 5 bold plus bold 11 over bold 5 bold italic lambda

Per tant les solucions són

open curly brackets table row cell bold x bold equals bold 11 over bold 5 bold plus bold 11 over bold 5 bold lambda bold space bold space bold space bold space end cell row cell bold y bold equals bold 2 over bold 5 bold minus bold 3 over bold 5 bold lambda bold space bold space bold space bold space bold space bold space end cell row cell bold z bold equals bold lambda bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space end cell end table close space space space space for all straight lambda element of IR


(for all lambda element of straight real numbers es llegeix "per a tot lambda pertanyent als reals", vol dir simplement que lambda pot ser qualsevol nombre real)

Vídeo

En aquest vídeo podeu veure la resolució d'aquest mateix exercici:  


Previous
Next