LL3_Sistemes d'equacions II

En la matriu associada a un sistema podem canviar l'ordre de les files sense cap repercussió (ja que l'ordre de les equacions en un sistema és irrellevant, si canviem d'ordre les equacions obtenim un sistema equivalent, és a dir, amb les mateixes solucions).

Si ens interessa també podem canviar l'ordre de les columnes però al fer això hem de pensar que estem canviat les incògnites que hi ha en cada columna. Vull dir, si per exemple tenim el sistema d'equacions: 

$\left. \begin{array}{l}5x + y + z = 1\\3x + 2y + z = - 2\\2x + y = 1\\ \end{array}\right\}$

La seva matriu associada és:

$\left( {\begin{array}{*{20}{c}}5 & 1 & 1 & {\left| {\,\,\,\,1} \right.}\\3 & 2 & 1 & {\left| { - 2}\right.}\\2 & 1 & 0 & {\left| {\,\,\,\,1} \right.}\\\end{array}} \right)$

$\left( {\begin{array}{*{20}{c}}5 & 1 & 1 & {\left| {\,\,\,\,1} \right.}\\3 & 2 & 1 & {\left| { - 2}\right.}\\2 & 1 & 0 & {\left| {\,\,\,\,1} \right.}\\\end{array}} \right)\, \to \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1 & 1 & 5 & {\left| {\,\,\,\,1} \right.}\\1 & 2 & 3 & {\left| { - 2}\right.}\\0 & 1 & 2 & {\left| {\,\,\,\,1} \right.}\\\end{array}} \right)\, \to \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1 & 1 & 5 & {\left| {\,\,\,\,1} \right.}\\0 & 1 & { - 2} & {\left| { - 3} \right.}\\0 & 1 & 2 & {\left| {\,\,\,\,1} \right.}\\\end{array}} \right)\, \to \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1 & 1 & 5 & {\left| {\,\,\,\,1} \right.}\\0 & 1 & { - 2} & {\left| { - 3} \right.}\\0 & 0 & 4 & {\left| {\,\,\,\,4} \right.}\\\end{array}} \right)$

ara al resoldre el sistema començant per l'última fila (recordem que amb el canvi fet en la 3a columna tenim les x), tenim:

$4x = 4\,\,\,\, \to \,\,\,\,\,x = 1$

en la 2a fila tenim:

$y - 2x = - 3\,\,\,\, \to \,\,\,\,y = 2x - 3 = 2 - 3 = - 1$

i finalment substituint en la 1a fila:

$z + y + 5x = 1\,\,\,\, \to z = 1 - y - 5x = 1 - ( - 1) - 5\cdot1 = 2 - 5 = - 3$

Observació: el canvi de columnes es pot fer entre columnes de la matriu de coeficients, no amb la columna dels termes independents de la matriu ampliada.