Resum de funcions I

Domini i recorregut

Domini

El domini d'una funció f  el formen els valors de la variable independent x que tenen imatge per f. Els representem per Dom f. És a dir, són els punts on té sentit definir la funció.

Els dominis s'expressen de diferents formes segons convingui: com a conjunt de punts i com a intervals de la recta real. És important que en aquest punt repasseu els intervals que es van treballar en el primer lliurament.

Què s'ha de tenir en compte en calcular el domini d'una funció?

Si tenim una funció definida de forma algebraica, és a dir com una fórmula, per calcular el seu domini haurem de trobar els valors reals on té sentit aplicar l'expressió algebraica, en aquest cas serà important saber treballar amb equacions i inequacions. Bàsicament caldrà vigilar:

• Si la funció és polinòmica  el domini estarà format per tots els nombres reals ( ) .
  
• Si la funció és racional, és a dir és quocient de dos polinomis: , el domini seran tots els valors reals excepte aquells que anul·len el denominador (ja sabem que si dividim per 0 dóna infinit), per això:
  
  
• Si la funció té arrels amb índex parell , sabem que no està definides en els negatius, per tant caldrà trobar quins valors fan que el radicand sigui negatiu i treure'ls del domini.
  
  
• Si la funció té una arrel amb índex senar, no té cap problema de definició. Per tant .
  
  
• Si la funció és logarítmica (les treballarem més endavant) , només es podran aplicar a valors positius 
  
  
• Per trobar el domini de funcions definides a trossos haurem de calcular el domini de cadascun dels trossos i unir-los. Cal tenir en compte en quina regió està definida cada tros.
  
  
• Si treballem amb una funció en un context, caldrà imposar també que tingui sentit la funció dins del context.
  

Si el que tenim és el gràfic de la funció, trobar-ne el domini passarà per trobar els punts de l'eix horitzontal que tenen imatge, és a dir x=a pertany al domini de la funció si la recta vertical x=a talla al gràfic en un punt.

• En aquest document, trobareu exemples resolts pas a pas del càlcul de dominis de diferents tipus de funcions, no deixeu de consultar-lo.(Només la part de dominis de polinomis i funcions racionals)
  




Recorregut

El recorregut o rang d'una funció f és el conjunt format per totes les imatges de f, és a dir són tots els valors y que són imatge d'alguna x.

El denotem 

Gràficament la imatge o recorregut de f la formen tots els valors verticals del gràfic.




Exemples


	A l'esquerra tenim el gràfic d'una funció f(x)=x²-3 En tractar-se d'una funció polinòmica el domini està format per tots els nombres reals, és a dir: Dom f= R Per altra banda observant el gràfic per trobar el recorregut veiem que verticalment pren valors entre -3 i fins a infinit (les branques seguirien creixent, tot i que aquí només en posem un tros), per tant Im f = [-3, +∞)
	A l'esquerra tenim el gràfic d'una funció a trossos. Per trobar-ne el domini cal veure quins valors de l'eix horitzontal tenen imatge, hem assenyalat en color blau els punts que ho compleixen: Dom f= [-9,-5] U [-3,6] Per altra banda observant el gràfic per trobar el recorregut veiem que verticalment pren valors entre -3 i fins a 6, per tant Im f = [-3, 6]