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4. Operacions amb vectors

Els vectors els podem representar de dos formes diferents.
    • Notació cartesiana com un número complex. On la part real i l'imaginaria serien les coordenades (a, b).  a plus simple j b
    En electricitat la unitat imaginaria i es substitueix per una j i es posa davant per no confondre-ho amb la intensitat.
    En els càlculs s'ha de tenir en compte que j2= -1

    • Notació polar. On el mòdul m és la longitud del vector i l'argument φ és el angle.  m indice phi º fin d'indice
    Cal dir que per fer la conversió d'una forma a l'altra ens caldrà utilitzar la trigonometria, tot i que mitjançant la calculadora també es pot fer la conversió directament.

      Suma i resta de vectors

      Per sumar i restar vectors que van en la mateixa direcció, els podem tenir expressats de forma cartesiana i llavors se sumen o resten les parts reals entre elles i les parts imaginàries entre elles.

      Per sumar i restar vectors que formen cert angle entre sí caldrà utilitzar la trigonometria. En el cas de ser vectors perpendiculars es pot recórrer al Teorema de Pitàgores i les funcions sinus i cosinus.


      Multiplicació i divisió de vectors

      Per multiplicar dos vectors expressats de forma polar (mòdul i argument) el mòdul es multiplica i l'argument se suma.

      A indice a espace fois espace B indice b espace égal à espace A fois B espace indice a plus b fin d'indice

      Exemple:  25 indice 20 fois 5 indice 15 égal à ouvrir la parenthèse 25 fois 5 fermer la parenthèse indice 20 plus 15 fin d'indice égal à 125 indice 35


      Per dividir-los el mòdul es divideix i l'argument es resta.

      A indice a sur B indice b espace espace espace égal à espace ouvrir la parenthèse A sur B fermer la parenthèse espace indice a moins b fin d'indice

      Exemple: 25 indice 20 sur 5 indice 15 égal à ouvrir la parenthèse 25 sur 5 fermer la parenthèse indice 20 moins 15 fin d'indice égal à 5 indice 5


      Si treballem en números complexos per multiplicar s'ha de multiplicar cada part del polinomi del numero complex per l'altra.

      ouvrir la parenthèse a plus j b fermer la parenthèse fois parenthèse gauche c plus j d parenthèse droite égal à ouvrir la parenthèse a fois c fermer la parenthèse plus ouvrir la parenthèse a fois j d fermer la parenthèse plus ouvrir la parenthèse j b fois c fermer la parenthèse plus ouvrir la parenthèse j b fois j d fermer la parenthèse égal à ouvrir la parenthèse a fois c moins b fois d fermer la parenthèse plus j parenthèse gauche a fois d plus b fois c parenthèse droite

      Exemple: ouvrir la parenthèse 2 moins j 4 fermer la parenthèse fois ouvrir la parenthèse 3 plus j 5 fermer la parenthèse égal à ouvrir la parenthèse 2 fois 3 espace moins ouvrir la parenthèse moins 4 fermer la parenthèse fois 5 fermer la parenthèse plus j ouvrir la parenthèse 2 fois 5 plus ouvrir la parenthèse moins 4 fermer la parenthèse fois 3 fermer la parenthèse égal à 26 moins j 2


      Per dividir, has de multiplicar el numerador i el denominador per el conjugat, per solucionar-ho com la multiplicació i després dividir cada part per separat  (la real i la imaginaria). Amb això el que es fa és treure la part imaginaria del denominador de la divisió.

      El conjugat és el mateix numero complex canviat el signe de la part imaginaria. El conjugat de a+jb serà a-jb.

      numérateur de la fraction a plus j b au-dessus du dénominateur c plus j d fin de la fraction égal à numérateur de la fraction début de style affichage ouvrir la parenthèse a plus j b fermer la parenthèse fois ouvrir la parenthèse gras c gras moins gras j gras d fermer la parenthèse fin de style au-dessus du dénominateur début de style affichage ouvrir la parenthèse c plus j d fermer la parenthèse fois ouvrir la parenthèse gras c gras moins gras j gras d fermer la parenthèse fin de style fin de la fraction égal à numérateur de la fraction début de style affichage a fois c moins a fois j d plus j b fois c moins j au carré b fois d fin de style au-dessus du dénominateur c au carré moins j au carré d au carré fin de la fraction égal à numérateur de la fraction ouvrir la parenthèse a fois c plus b fois d fermer la parenthèse début de style affichage plus fin de style début de style affichage j fin de style début de style affichage ouvrir la parenthèse a fois d plus b fois c fermer la parenthèse fin de style au-dessus du dénominateur c au carré plus d au carré fin de la fraction

      Exemple: numérateur de la fraction a plus j b au-dessus du dénominateur c plus j d fin de la fraction égal à numérateur de la fraction début de style affichage ouvrir la parenthèse 3 plus j 4 fermer la parenthèse fois ouvrir la parenthèse 1 moins j 2 fermer la parenthèse fin de style au-dessus du dénominateur début de style affichage ouvrir la parenthèse 1 plus j 2 fermer la parenthèse fois ouvrir la parenthèse 1 moins j 2 fermer la parenthèse fin de style fin de la fraction égal à numérateur de la fraction ouvrir la parenthèse 3 fois 1 plus 4 fois 2 fermer la parenthèse début de style affichage plus fin de style début de style affichage j fin de style début de style affichage ouvrir la parenthèse 3 fois 2 plus 4 fois 1 fermer la parenthèse fin de style au-dessus du dénominateur 1 au carré plus 2 au carré fin de la fraction égal à 11 sur 5 plus j 12 sur 5


      És evident que per multiplicar i dividir vectors és sempre millor treballar amb notació polar.

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