Derivades: Com calcular derivades?

Fórmules de derivades

Com calcular derivades?

a) Com calculem una derivada? Aplicant la fórmula que correspongui

Si mireu en algun llibre com fa el càlcul de derivades, podreu veure que fa algun exemple aplicant la definició de derivada. Però aquesta forma de calcular la derivada és molt poc pràctica. Nosaltres el càlcul de derivades ja sempre ho farem aplicant la fórmula que correspongui:

En aquest exemple 2 :

$f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual 3 x menys x al quadrat$

que en el llibre ho fa amb la definició , ho farem directament: sabem (fórmula) que la derivada de 3x és 3 i la derivada de x² és 2x, per tant:

$f apòstrof parèntesi esquerre x parèntesi dret igual 3 menys 2 x$

b) Quina fórmula haig d'aplicar? En general, les que s'indiquen en Derivada de funcions compostes

Exemple 1

Calculeu la derivada de

$bold italic f negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta igual negreta parèntesi esquerre negreta 3 bold italic x negreta més negreta 1 negreta parèntesi dret elevat a negreta 5$

hauré d'aplicar la fórmula:

$bold italic f negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta igual negreta parèntesi esquerre bold italic u negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta parèntesi dret elevat a negreta n negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai negreta fletxa dreta negreta espai$ $negreta espai negreta espai bold italic f negreta apòstrof negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta igual bold italic n negreta parèntesi esquerre bold italic u negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta parèntesi dret elevat a negreta n negreta menys negreta 1 fi elevat negreta per bold italic u negreta apòstrof negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai$

Per tant

$f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual parèntesi esquerre 3 x més 1 parèntesi dret elevat a 5 espai espai espai espai fletxa dreta espai espai espai f apòstrof parèntesi esquerre x parèntesi dret igual 5 parèntesi esquerre 3 x més 1 parèntesi dret elevat a 4 negreta per negreta 3 igual 15 parèntesi esquerre 3 x més 1 parèntesi dret elevat a 4$

un error freqüent és no afegir aquest 3 (que és la derivada de 3x+1) perquè mireu la fórmula

$f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual x elevat a n espai espai fletxa dreta espai f apòstrof parèntesi esquerre x parèntesi dret igual n per x elevat a n menys 1 fi elevat$

però en aquest cas no podem aplicar aquesta fórmula ja que la nostra funció no és del tipus f(x)=xⁿ

Exemple 2

Calculeu la derivada de

$bold italic f negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta igual negreta ln negreta espai negreta parèntesi esquerre negreta 1 negreta menys negreta 3 bold italic x elevat a negreta 2 negreta parèntesi dret$

hauré d'aplicar la fórmula:

$bold italic f negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta igual negreta ln negreta espai negreta parèntesi esquerre bold italic u negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta parèntesi dret negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai negreta fletxa dreta negreta espai bold italic f negreta apòstrof negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta igual fracció numerador negreta u negreta apòstrof negreta parèntesi esquerre negreta x negreta parèntesi dret entre denominador negreta u negreta parèntesi esquerre negreta x negreta parèntesi dret fi fracció$

Per tant

$f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual ln espai parèntesi esquerre 1 menys x al cub parèntesi dret espai espai espai espai fletxa dreta espai espai espai f apòstrof parèntesi esquerre x parèntesi dret igual fracció numerador menys 3 x al quadrat entre denominador 1 menys x al cub fi fracció$

un error freqüent és no afegir en el numerador -3x² (que és la derivada de 1-x³). Aquest error ho feu perquè mireu la fórmula

$f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual ln espai x espai espai fletxa dreta espai f apòstrof parèntesi esquerre x parèntesi dret igual fracció 1 entre x$

però en aquest cas no podem aplicar aquesta fórmula que només serveix per a f(x)=ln x

Vídeo

En aquest vídeo podeu veure alguns exemples de càlcul de derivades:

Propietat intel·lectual i drets d'autoria

Fórmules de derivades

Com calcular derivades?