Derivades

lloc:	Cursos IOC - Batxillerat
Curs:	Matemàtiques aplicades a les Ciències socials (autoformació IOC)
Llibre:	Derivades

Imprès per:	Usuari convidat
Data:	diumenge, 28 d’abril 2024, 10:03

Taula de continguts

Resum
Taxa de variació mitjana
Derivada d'una funció en un punt
Fórmules de derivades

Resum

Pendent d'una recta

El pendent d'una recta és la tangent de l'angle que la recta forma amb l'eix positiu d'abscisses.

Equació d'una recta

L'equació d'una recta amb pendent m i que passa pel punt (x_0,y₀) és:

$bold italic y negreta menys bold italic y subíndex negreta 0 negreta igual bold italic m negreta per negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta menys bold italic x subíndex negreta 0 negreta parèntesi dret$

Taxa de variació mitjana

La taxa de variació mitjana de la funció f entre a i b, amb a<b, és el quocient entre la variació de f(x) i la de x al interval [a,b]

$T V M claudàtor esquerre a coma b claudàtor dret igual fracció numerador f parèntesi esquerre b parèntesi dret menys f parèntesi esquerre a parèntesi dret entre denominador b menys a fi fracció$

Interpretació geomètrica:

és el pendent de la recta secant a la gràfica de la funció pels punts $parèntesi esquerre a coma f parèntesi esquerre a parèntesi dret parèntesi dret espai i espai parèntesi esquerre b coma f parèntesi esquerre b parèntesi dret parèntesi dret$

Derivada d'una funció en un punt

La derivada d'una funció en el punt d'abscissa x=a és

$bold italic f negreta apòstrof negreta parèntesi esquerre bold italic a negreta parèntesi dret negreta igual pila negreta l negreta i negreta m amb negreta x negreta fletxa dreta negreta infinit a sota fracció numerador negreta f negreta parèntesi esquerre negreta a negreta més negreta h negreta parèntesi dret negreta menys negreta f negreta parèntesi esquerre negreta a negreta parèntesi dret entre denominador negreta h fi fracció$

Interpretació geomètrica:

és el pendent de la recta tangent a la gràfica de la funció en el punt $parèntesi esquerre a coma f parèntesi esquerre a parèntesi dret parèntesi dret$

Equació de la recta tangent

L'equació de la recta tangent a la gràfica de f en el punt $parèntesi esquerre a coma f parèntesi esquerre a parèntesi dret parèntesi dret$ és:

$bold italic y negreta menys bold italic f negreta parèntesi esquerre bold italic a negreta parèntesi dret negreta igual bold italic f negreta apòstrof negreta parèntesi esquerre bold italic a negreta parèntesi dret negreta per negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta menys bold italic a negreta parèntesi dret$

Taxa de variació mitjana

Definició

Sigui una funció f(x) i dos punts A=(a,f(a)) i B=(b,f(b)) de la seva gràfica

La taxa de variació mitjana d'una funció f(x) entre dos valors x=a i x=b ( amb a<b) és:

$envoltori caixa espai T V M claudàtor esquerre a coma b claudàtor dret igual fracció numerador f parèntesi esquerre b parèntesi dret menys f parèntesi esquerre a parèntesi dret entre denominador b menys a fi fracció espai fi envoltori$

Interpretació geomètrica

Si fem un gràfic de la situació veiem que TMV[a,b] és el pendent de la recta secant que passa pels punts A=(a,f(a)) i B=(b,f(b))

pendent de la recta secant

$m igual t g espai alfa espai igual fracció numerador f parèntesi esquerre b parèntesi dret menys f parèntesi esquerre a parèntesi dret entre denominador b menys a fi fracció$

Exemple

$f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual 1 cinquè x al quadrat menys 2 x menys 1$ .

Volem calcular la taxa de variació mitjana entre els valors x= -2 i x=3

$espai T V M claudàtor esquerre menys 2 coma 3 claudàtor dret igual fracció numerador f parèntesi esquerre 3 parèntesi dret menys f parèntesi esquerre menys 2 parèntesi dret entre denominador 3 menys parèntesi esquerre menys 2 parèntesi dret fi fracció c a l c u l e m espai f parèntesi esquerre menys 2 parèntesi dret espai i espai f parèntesi esquerre 3 parèntesi dret dos punts f parèntesi esquerre menys 2 parèntesi dret igual 1 cinquè per 4 menys 2 parèntesi esquerre menys 2 parèntesi dret menys 1 igual fracció 4 entre 5 més 4 menys 1 igual fracció 4 entre 5 més 3 igual fracció 4 entre 5 més fracció 15 entre 5 igual fracció 19 entre 5 f parèntesi esquerre 3 parèntesi dret igual 1 cinquè per 9 menys 6 menys 1 igual fracció 9 entre 5 menys 7 igual fracció 9 entre 5 menys fracció 35 entre 5 igual menys fracció 26 entre 5 A l e s h o r e s espai espai espai T V M claudàtor esquerre menys 2 coma 3 claudàtor dret igual fracció numerador f parèntesi esquerre 3 parèntesi dret menys f parèntesi esquerre menys 2 parèntesi dret entre denominador 3 menys parèntesi esquerre menys 2 parèntesi dret fi fracció igual fracció numerador menys fracció 26 entre 5 menys fracció 19 entre 5 entre denominador 5 fi fracció igual fracció numerador menys estil mostrar fracció 45 entre 5 fi estil entre denominador 5 fi fracció igual espai espai envoltori caixa fracció numerador menys 9 entre denominador 5 fi fracció fi envoltori espai$

Derivada d'una funció en un punt

Definició

La derivada d'una funció en un punt de la funció d'abscissa x=a és

Interpretació geomètrica

La derivada d'una funció en un punt de la funció d'abscissa x=a és el pendent de la recta tangent a la gràfica en aquest punt.

Imaginem una funció f(x) i un punt de la gràfica d'aquesta funció (a, f(a)) on hi hagi una única recta tangent. Sigui $y igual m x més b$ l'equació d'aquesta recta tangent.

Aleshores $f apòstrof parèntesi esquerre a parèntesi dret igual m$

Exemple:

$f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual menys x al cub més x$

Trobeu el pendent de la recta tangent en el punt de la funció d'abscissa x=-1, i l'equació de la recta tangent

Punt

El punt és $parèntesi esquerre menys 1 coma espai f parèntesi esquerre menys 1 parèntesi dret parèntesi dret$

$f parèntesi esquerre negreta menys negreta 1 parèntesi dret igual menys parèntesi esquerre menys 1 parèntesi dret al cub més parèntesi esquerre menys 1 parèntesi dret igual menys parèntesi esquerre menys 1 parèntesi dret menys 1 igual 1 menys 1 igual negreta 0$

Per tant, el punt és $negreta parèntesi esquerre negreta menys negreta 1 negreta coma negreta 0 negreta parèntesi dret$

Pendent

Calculem $f espai apòstrof parèntesi esquerre x parèntesi dret igual menys 3 x al quadrat més 1$

Avaluem la derivada en x=-1: $bold italic f negreta espai negreta apòstrof negreta parèntesi esquerre negreta menys negreta 1 negreta parèntesi dret igual menys 3 per parèntesi esquerre menys 1 parèntesi dret al quadrat més 1 igual menys 3 més 1 igual negreta menys negreta 2$

Per tant , el pendent és -2

Equació de la recta tangent:
$y menys 0 igual menys 2 per parèntesi esquerre x menys parèntesi esquerre menys 1 parèntesi dret espai espai espai espai espai espai espai bold italic y negreta igual negreta menys negreta 2 negreta per negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta més negreta 1 negreta parèntesi dret$

O bé: $2 x més y més 2 igual 0$

Fórmules de derivades

En aquest capítol, considerem els subcapítols:

- Derivades de funcions elementals

- Derivades de funcions compostes.

Són funcions elementals, per exemple: f(x)=3x, f(x)=x⁵, f(x)=e^x, f(x)=ln x, .......

Són funció compostes, per exemple: f(x)=(3x+1)⁵, f(x)=e^3x, f(x)=ln (2x+1),.......

Derivada de funcions elementals

Fórmules:

$bold italic f negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta igual bold italic k negreta espai negreta espai negreta espai bold italic k negreta pertany negreta nombres reals negreta espai negreta espai negreta espai$	$bold italic f negreta apòstrof negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta igual negreta 0$
$bold italic f negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta igual bold italic k bold italic x negreta espai negreta espai negreta espai bold italic k negreta pertany negreta nombres reals negreta espai negreta espai negreta espai$	$negreta espai negreta espai bold italic f negreta apòstrof negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta igual bold italic k$
$bold italic f negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta igual bold italic x elevat a negreta n negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai$	$negreta espai negreta espai bold italic f negreta apòstrof negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta igual bold italic n bold italic x elevat a negreta n negreta menys negreta 1 fi elevat$
$bold italic f negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta igual arrel quadrada de negreta x negreta espai negreta espai negreta espai$	$bold italic f negreta apòstrof negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta igual fracció numerador negreta 1 entre denominador negreta 2 arrel quadrada de negreta x fi fracció$
$bold italic f negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta igual bold italic e elevat a negreta x negreta espai negreta espai negreta espai$	$bold italic f negreta apòstrof negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta igual bold italic e elevat a negreta x negreta espai negreta espai negreta espai$
$bold italic f negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta igual bold italic a elevat a negreta x negreta espai negreta espai negreta espai$	$bold italic f negreta apòstrof negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta igual bold italic a elevat a negreta x negreta per negreta ln negreta espai bold italic a negreta espai negreta espai negreta espai$
$bold italic f negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta igual bold italic l bold italic n negreta espai bold italic x$	$bold italic f negreta apòstrof negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta igual fracció negreta 1 entre negreta x$
$bold italic f negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta igual negreta log subíndex negreta a bold italic x$	$bold italic f negreta apòstrof negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta igual fracció numerador negreta 1 entre denominador negreta ln negreta espai negreta a fi fracció negreta per fracció negreta 1 entre negreta x$
$bold italic f negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta igual bold italic s bold italic i bold italic n negreta espai bold italic x$	$bold italic f negreta apòstrof negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta igual bold italic c bold italic o bold italic s negreta espai bold italic x$
$bold italic f negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta igual negreta cos negreta espai bold italic x$	$bold italic f negreta apòstrof negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta igual negreta menys bold italic s bold italic i bold italic n negreta espai bold italic x$
$bold italic f negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta igual bold italic t bold italic g negreta espai bold italic x$	$bold italic f negreta apòstrof negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta igual fracció numerador negreta 1 entre denominador negreta c negreta o negreta s elevat a negreta 2 negreta x fi fracció$

Aquí podeu veure uns quants exemples:

Exemples derivades funcions elementals

Derivada de funcions compostes

Per derivar una funció composta s'aplica la Regla de la cadena:

$f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual u parèntesi esquerre v parèntesi esquerre x parèntesi dret parèntesi dret espai espai espai fletxa dreta espai espai espai f apòstrof parèntesi esquerre x parèntesi dret igual u apòstrof parèntesi esquerre v parèntesi esquerre x parèntesi dret parèntesi dret per v apòstrof parèntesi esquerre x parèntesi dret$

però a la pràctica el que fem és aplicar les fórmules de derivades.

Fórmules:

$bold italic f negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta igual bold italic k negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai bold italic k negreta pertany negreta nombres reals negreta espai negreta espai negreta espai$	$negreta espai negreta espai bold italic f negreta apòstrof negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta igual negreta 0$
$bold italic f negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta igual bold italic k negreta per bold italic u negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta espai negreta espai negreta espai bold italic k negreta pertany negreta nombres reals negreta espai negreta espai negreta espai$	$negreta espai negreta espai bold italic f negreta apòstrof negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta igual bold italic k negreta per bold italic u negreta apòstrof negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret$
$bold italic f negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta igual negreta parèntesi esquerre bold italic u negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta parèntesi dret elevat a negreta n negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai$	$negreta espai negreta espai bold italic f negreta apòstrof negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta igual bold italic n negreta parèntesi esquerre bold italic u negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta parèntesi dret elevat a negreta n negreta menys negreta 1 fi elevat negreta per bold italic u negreta apòstrof negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai$
$bold italic f negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta igual arrel quadrada de negreta u negreta parèntesi esquerre negreta x negreta parèntesi dret fi arrel negreta espai negreta espai negreta espai$	$bold italic f negreta apòstrof negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta igual fracció numerador negreta 1 entre denominador negreta 2 arrel quadrada de negreta u negreta parèntesi esquerre negreta x negreta parèntesi dret fi arrel fi fracció negreta per bold italic u negreta apòstrof negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta igual fracció numerador negreta u negreta apòstrof negreta parèntesi esquerre negreta x negreta parèntesi dret entre denominador negreta 2 arrel quadrada de negreta u negreta parèntesi esquerre negreta x negreta parèntesi dret fi arrel fi fracció$
$bold italic f negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta igual bold italic e elevat a negreta u negreta parèntesi esquerre negreta x negreta parèntesi dret fi elevat negreta espai negreta espai negreta espai$	$bold italic f negreta apòstrof negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta igual bold italic e elevat a negreta u negreta parèntesi esquerre negreta x negreta parèntesi dret fi elevat negreta per bold italic u negreta apòstrof negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta espai negreta espai negreta espai$
$bold italic f negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta igual bold italic a elevat a negreta u negreta parèntesi esquerre negreta x negreta parèntesi dret fi elevat negreta espai negreta espai negreta espai$	$bold italic f negreta apòstrof negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta igual bold italic a elevat a negreta u negreta parèntesi esquerre negreta x negreta parèntesi dret fi elevat negreta per negreta ln negreta espai bold italic a negreta espai negreta per bold italic u negreta apòstrof negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta espai negreta espai$
$bold italic f negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta igual bold italic l bold italic n negreta espai negreta parèntesi esquerre bold italic u negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta parèntesi dret$	$bold italic f negreta apòstrof negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta igual fracció numerador negreta 1 entre denominador negreta u negreta parèntesi esquerre negreta x negreta parèntesi dret fi fracció negreta per bold italic u negreta apòstrof negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta igual fracció numerador negreta u negreta apòstrof negreta parèntesi esquerre negreta x negreta parèntesi dret entre denominador negreta u negreta parèntesi esquerre negreta x negreta parèntesi dret fi fracció$
$bold italic f negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta igual negreta log subíndex negreta a negreta espai negreta parèntesi esquerre bold italic u negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta parèntesi dret$	$bold italic f negreta apòstrof negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta igual fracció numerador negreta 1 entre denominador negreta ln negreta espai negreta a fi fracció negreta per fracció numerador negreta 1 entre denominador negreta u negreta parèntesi esquerre negreta x negreta parèntesi dret fi fracció negreta per bold italic u negreta apòstrof negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta igual fracció numerador negreta 1 entre denominador negreta ln negreta espai negreta a fi fracció negreta per fracció numerador negreta u negreta apòstrof negreta parèntesi esquerre negreta x negreta parèntesi dret entre denominador negreta u negreta parèntesi esquerre negreta x negreta parèntesi dret fi fracció$
$bold italic f negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta igual negreta sin negreta espai negreta parèntesi esquerre bold italic u negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta parèntesi dret$	$bold italic f negreta apòstrof negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta igual negreta cos negreta espai negreta parèntesi esquerre bold italic u negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta parèntesi dret negreta per bold italic u negreta apòstrof negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta espai$
$bold italic f negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta igual negreta cos negreta espai negreta parèntesi esquerre bold italic u negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta parèntesi dret$	$bold italic f negreta apòstrof negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta igual negreta menys bold italic s bold italic i bold italic n negreta espai negreta parèntesi esquerre bold italic u negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta parèntesi dret negreta per bold italic u negreta apòstrof negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta espai$
$bold italic f negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta igual bold italic t bold italic g negreta parèntesi esquerre bold italic u negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta parèntesi dret$	$bold italic f negreta apòstrof negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta igual fracció numerador negreta u negreta apòstrof negreta parèntesi esquerre negreta x negreta parèntesi dret entre denominador negreta c negreta o negreta s elevat a negreta 2 negreta parèntesi esquerre negreta u negreta parèntesi esquerre negreta x negreta parèntesi dret negreta parèntesi dret fi fracció$

Aquí podeu veure uns quants exemples:

Exemples derivades funcions compostes

Funció derivada i operacions

Derivada de la suma.

$bold italic f negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta igual bold italic g negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta més bold italic h negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta espai negreta espai negreta fletxa dreta negreta espai negreta espai bold italic f negreta apòstrof negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta igual bold italic g negreta apòstrof negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta més bold italic h negreta apòstrof negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret espai$

Exemple.

$f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual e elevat a 2 x fi elevat més x al cub espai espai fletxa dreta espai espai f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual 2 per e elevat a 2 x fi elevat més 3 x al quadrat$

Derivada de la diferència.

$bold italic f negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta igual bold italic g negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta menys bold italic h negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta espai negreta espai negreta fletxa dreta negreta espai negreta espai bold italic f negreta apòstrof negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta igual bold italic g negreta apòstrof negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta menys bold italic h negreta apòstrof negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret espai$

Exemple.

$f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual 5 x menys ln espai x espai espai fletxa dreta espai espai f apòstrof parèntesi esquerre x parèntesi dret igual 5 menys fracció 1 entre x$

Derivada del producte

$bold italic f negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta igual bold italic g negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta per bold italic h negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta espai negreta espai negreta fletxa dreta negreta espai negreta espai bold italic f negreta apòstrof negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta igual bold italic g negreta apòstrof negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta per bold italic h negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta més bold italic g negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta per bold italic h negreta apòstrof negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret espai$

Exemple.

$f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual x per e elevat a 3 x fi elevat espai espai fletxa dreta espai espai f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual 1 per e elevat a 3 x fi elevat més x per e elevat a 3 x fi elevat per 3 igual e elevat a 3 x fi elevat parèntesi esquerre 1 més 3 x parèntesi dret$

Derivada del quocient

$bold italic f negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta igual fracció numerador negreta g negreta parèntesi esquerre negreta x negreta parèntesi dret entre denominador negreta h negreta parèntesi esquerre negreta x negreta parèntesi dret fi fracció negreta espai negreta espai negreta fletxa dreta negreta espai negreta espai bold italic f negreta apòstrof negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta igual fracció numerador negreta g negreta apòstrof negreta parèntesi esquerre negreta x negreta parèntesi dret negreta per negreta h negreta parèntesi esquerre negreta x negreta parèntesi dret negreta menys negreta g negreta parèntesi esquerre negreta x negreta parèntesi dret negreta per negreta h negreta apòstrof negreta parèntesi esquerre negreta x negreta parèntesi dret entre denominador obre parèntesis negreta h negreta parèntesi esquerre negreta x negreta parèntesi dret tanca parèntesis elevat a negreta 2 fi fracció$

Exemple.

$f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual fracció numerador 5 x més 2 entre denominador 3 x menys 1 fi fracció espai espai fletxa dreta espai espai f apòstrof parèntesi esquerre x parèntesi dret igual fracció numerador 5 per parèntesi esquerre 3 normal x menys 1 parèntesi dret menys parèntesi esquerre 5 normal x més 2 parèntesi dret per 3 entre denominador parèntesi esquerre 3 x menys 1 parèntesi dret al quadrat fi fracció igual fracció numerador 15 x menys 5 menys 15 x menys 6 entre denominador parèntesi esquerre 3 x menys 1 parèntesi dret al quadrat fi fracció igual fracció numerador menys 11 entre denominador parèntesi esquerre 3 x menys 1 parèntesi dret al quadrat fi fracció$

Com calcular derivades?

a) Com calculem una derivada? Aplicant la fórmula que correspongui

Si mireu en algun llibre com fa el càlcul de derivades, podreu veure que fa algun exemple aplicant la definició de derivada. Però aquesta forma de calcular la derivada és molt poc pràctica. Nosaltres el càlcul de derivades ja sempre ho farem aplicant la fórmula que correspongui:

En aquest exemple 2 :

$f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual 3 x menys x al quadrat$

que en el llibre ho fa amb la definició , ho farem directament: sabem (fórmula) que la derivada de 3x és 3 i la derivada de x² és 2x, per tant:

$f apòstrof parèntesi esquerre x parèntesi dret igual 3 menys 2 x$

b) Quina fórmula haig d'aplicar? En general, les que s'indiquen en Derivada de funcions compostes

Exemple 1

Calculeu la derivada de

$bold italic f negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta igual negreta parèntesi esquerre negreta 3 bold italic x negreta més negreta 1 negreta parèntesi dret elevat a negreta 5$

hauré d'aplicar la fórmula:

$bold italic f negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta igual negreta parèntesi esquerre bold italic u negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta parèntesi dret elevat a negreta n negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai negreta fletxa dreta negreta espai$ $negreta espai negreta espai bold italic f negreta apòstrof negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta igual bold italic n negreta parèntesi esquerre bold italic u negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta parèntesi dret elevat a negreta n negreta menys negreta 1 fi elevat negreta per bold italic u negreta apòstrof negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai$

Per tant

$f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual parèntesi esquerre 3 x més 1 parèntesi dret elevat a 5 espai espai espai espai fletxa dreta espai espai espai f apòstrof parèntesi esquerre x parèntesi dret igual 5 parèntesi esquerre 3 x més 1 parèntesi dret elevat a 4 negreta per negreta 3 igual 15 parèntesi esquerre 3 x més 1 parèntesi dret elevat a 4$

un error freqüent és no afegir aquest 3 (que és la derivada de 3x+1) perquè mireu la fórmula

$f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual x elevat a n espai espai fletxa dreta espai f apòstrof parèntesi esquerre x parèntesi dret igual n per x elevat a n menys 1 fi elevat$

però en aquest cas no podem aplicar aquesta fórmula ja que la nostra funció no és del tipus f(x)=xⁿ

Exemple 2

Calculeu la derivada de

$bold italic f negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta igual negreta ln negreta espai negreta parèntesi esquerre negreta 1 negreta menys negreta 3 bold italic x elevat a negreta 2 negreta parèntesi dret$

hauré d'aplicar la fórmula:

$bold italic f negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta igual negreta ln negreta espai negreta parèntesi esquerre bold italic u negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta parèntesi dret negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai negreta fletxa dreta negreta espai bold italic f negreta apòstrof negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta igual fracció numerador negreta u negreta apòstrof negreta parèntesi esquerre negreta x negreta parèntesi dret entre denominador negreta u negreta parèntesi esquerre negreta x negreta parèntesi dret fi fracció$

Per tant

$f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual ln espai parèntesi esquerre 1 menys x al cub parèntesi dret espai espai espai espai fletxa dreta espai espai espai f apòstrof parèntesi esquerre x parèntesi dret igual fracció numerador menys 3 x al quadrat entre denominador 1 menys x al cub fi fracció$

un error freqüent és no afegir en el numerador -3x² (que és la derivada de 1-x³). Aquest error ho feu perquè mireu la fórmula

$f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual ln espai x espai espai fletxa dreta espai f apòstrof parèntesi esquerre x parèntesi dret igual fracció 1 entre x$

però en aquest cas no podem aplicar aquesta fórmula que només serveix per a f(x)=ln x

Vídeo

En aquest vídeo podeu veure alguns exemples de càlcul de derivades:

Derivades d'arrels

Tingueu en compte que les fórmules

$bold italic f negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta igual arrel quadrada de negreta x negreta espai negreta espai negreta espai$ $negreta espai negreta fletxa dreta negreta espai negreta espai bold italic f negreta apòstrof negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta igual fracció numerador negreta 1 entre denominador negreta 2 arrel quadrada de negreta x fi fracció$

$bold italic f negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta igual arrel quadrada de negreta u negreta parèntesi esquerre negreta x negreta parèntesi dret fi arrel negreta espai negreta espai negreta espai$ $negreta espai negreta espai negreta espai negreta fletxa dreta negreta espai negreta espai negreta espai bold italic f negreta apòstrof negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta igual fracció numerador negreta 1 entre denominador negreta 2 arrel quadrada de negreta u negreta parèntesi esquerre negreta x negreta parèntesi dret fi arrel fi fracció negreta per bold italic u negreta apòstrof negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta igual fracció numerador negreta u negreta apòstrof negreta parèntesi esquerre negreta x negreta parèntesi dret entre denominador negreta 2 arrel quadrada de negreta u negreta parèntesi esquerre negreta x negreta parèntesi dret fi arrel fi fracció$

només són vàlides per a les arrels quadrades

Com fem la derivada d'una arrel no quadrada? Tenint en compte:

$arrel n-èsima de x igual x elevat a 1 dividit per n fi elevat arrel n-èsima de x elevat a m fi arrel igual x elevat a m dividit per n fi elevat$

Exemples

$y igual arrel cinquena de x espai espai fletxa dreta y igual x elevat a 1 dividit per 5 fi elevat espai espai fletxa dreta y apòstrof igual 1 cinquè x elevat a 1 cinquè menys 1 fi elevat igual 1 cinquè x elevat a menys 4 dividit per 5 fi elevat igual fracció numerador 1 entre denominador 5 per x elevat a 4 dividit per 5 fi elevat fi fracció igual fracció numerador 1 entre denominador 5 arrel cinquena de x elevat a 4 fi arrel fi fracció$
$y igual arrel cúbica de x al quadrat fi arrel espai espai fletxa dreta y igual x elevat a 2 dividit per 3 fi elevat espai espai fletxa dreta y apòstrof igual fracció 2 entre 3 x elevat a fracció 2 entre 3 menys 1 fi elevat igual fracció 2 entre 3 x elevat a menys 1 dividit per 3 fi elevat igual fracció numerador 2 entre denominador 3 per x elevat a 1 dividit per 3 fi elevat fi fracció igual fracció numerador 2 entre denominador 3 arrel cúbica de x fi fracció$
$y igual arrel cúbica de x al quadrat més 3 x fi arrel espai espai fletxa dreta y igual obre parèntesis x al quadrat més 3 x tanca parèntesis elevat a 1 dividit per 3 fi elevat espai espai$

$y apòstrof igual 1 terç obre parèntesis x al quadrat més 3 x tanca parèntesis elevat a 1 terç menys 1 fi elevat per parèntesi esquerre 2 x més 3 parèntesi dret igual 1 terç obre parèntesis x al quadrat més 3 x tanca parèntesis elevat a menys fracció 2 entre 3 fi elevat per parèntesi esquerre 2 x més 3 parèntesi dret igual fracció numerador 2 x més 3 entre denominador 3 arrel cúbica de obre parèntesis x al quadrat més 3 x tanca parèntesis al quadrat fi arrel fi fracció$

Simplificar

a) A vegades podem simplificar el càlcul d'una derivada.

Veiem alguns exemples

Exemple 1

Derivada de $f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual 3 per x elevat a 5$

Ho podem veure com un producte i aplicar la fórmula de la derivada d'un producte

$f apòstrof parèntesi esquerre x parèntesi dret igual 0 per x elevat a 5 més 3 per 5 x elevat a 4 igual 15 x elevat a 4$

Aplicant que $f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual k per u parèntesi esquerre x parèntesi dret espai espai espai espai fletxa dreta espai espai f apòstrof parèntesi esquerre x parèntesi dret igual k per u apòstrof parèntesi esquerre x parèntesi dret$ on k és un nombre

$f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual 3 per x elevat a 5 espai espai fletxa dreta espai espai espai f apòstrof parèntesi esquerre x parèntesi dret igual 3 per 5 x elevat a 4 igual 15 x elevat a 4$

Exemple 2

Derivada de $f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual fracció 1 entre x elevat a 4$

Ho podem fer de dues maneres:

Considerant que és un quocient:

$f apòstrof parèntesi esquerre x parèntesi dret igual fracció numerador 0 per x elevat a 4 menys 1 per 4 x al cub entre denominador obre parèntesis x elevat a 4 tanca parèntesis al quadrat fi fracció igual fracció numerador menys 4 x al cub entre denominador x elevat a 8 fi fracció igual fracció numerador menys 4 entre denominador x elevat a 5 fi fracció$

Tenint en compte que $fracció 1 entre x elevat a n igual x elevat a menys n fi elevat$ :

$f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual fracció 1 entre x elevat a 4 igual x elevat a menys 4 fi elevat espai espai espai espai espai fletxa dreta espai espai espai f apòstrof parèntesi esquerre x parèntesi dret igual menys 4 x elevat a menys 5 fi elevat igual fracció numerador menys 4 entre denominador x elevat a 5 fi fracció$

Com podeu veure aquesta segona forma és molt més pràctica.

b) Simplificar el resultat de la derivada

Veurem especialment el cas de la derivada d'un quocient de polinomis.

Exemple

Derivada de: $f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual fracció numerador 5 menys 2 x entre denominador 1 menys x fi fracció$

La derivada és:

$f apòstrof parèntesi esquerre x parèntesi dret igual fracció numerador menys 2 per parèntesi esquerre 1 menys x parèntesi dret menys parèntesi esquerre 5 menys 2 x parèntesi dret per negreta parèntesi esquerre negreta menys negreta 1 negreta parèntesi dret entre denominador parèntesi esquerre 1 menys x parèntesi dret al quadrat fi fracció igual fracció numerador menys 2 més 2 x més 5 menys 2 x entre denominador parèntesi esquerre 1 menys x parèntesi dret al quadrat fi fracció igual fracció numerador 3 entre denominador parèntesi esquerre 1 menys x parèntesi dret al quadrat fi fracció$

Observacions:

· La derivada del denominador és -1 i per indicar que multiplica al numerador 5-2x hem de posar:

$parèntesi esquerre 5 menys 2 x parèntesi dret per negreta parèntesi esquerre negreta menys negreta 1 negreta parèntesi dret$

És incorrecte escriure $parèntesi esquerre 5 menys 2 x parèntesi dret per negreta menys negreta 1$

En un producte , sempre que el segon factor sigui negatiu ho hem d'escriure entre parèntesis

Per exemple, és incorrecte $4 per menys 3$ , s'ha d'escriure: $4 per parèntesi esquerre menys 3 parèntesi dret$ .

Es pot obviar el puntet (però no els parèntesis!): $4 parèntesi esquerre menys 3 parèntesi dret$

Sí és correcte escriure $menys 4 per 3$

· Atenció amb el signe menys que afecta a tot el 2n terme del numerador: $menys 2 per parèntesi esquerre 1 menys x parèntesi dret negreta menys parèntesi esquerre 5 menys 2 x parèntesi dret per parèntesi esquerre menys 1 parèntesi dret$

(En aquest cas aquest signe $negreta menys$ contrarestarà el (-1) i en el numerador ens quedarà $menys 2 per parèntesi esquerre 1 menys x parèntesi dret més 5 menys 2 x$

· El denominador de la derivada $parèntesi esquerre 1 menys x parèntesi dret al quadrat$ , en principi, no cal desenvolupar-lo.

Però si ens interessa desenvolupar-lo tindrem en compta que $parèntesi esquerre 1 menys x parèntesi dret al quadrat igual 1 menys 2 x més x al quadrat$