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Derivada d'una funció en un punt

Definició

La derivada d'una funció en un punt de la funció d'abscissa x=a és

                 bold italic f gras apostrophe gras parenthèse gauche bold italic a gras parenthèse droite gras égal à empilement gras l gras i gras m avec gras x gras flèche vers la droite gras infini en dessous numérateur de la fraction gras f gras parenthèse gauche gras a gras plus gras h gras parenthèse droite gras moins gras f gras parenthèse gauche gras a gras parenthèse droite au-dessus du dénominateur gras h fin de la fraction

Interpretació geomètrica

La derivada d'una funció en un punt de la funció d'abscissa x=a és el pendent de la recta tangent a la gràfica en aquest punt.

Imaginem una funció f(x) i un punt de la gràfica d'aquesta funció (a, f(a)) on hi hagi una única recta tangent. Sigui y égal à m x plus b l'equació d'aquesta recta tangent.

Aleshores  f apostrophe parenthèse gauche a parenthèse droite égal à m

   

Exemple:

f parenthèse gauche x parenthèse droite égal à moins x au cube plus x

Trobeu el pendent de la recta tangent en el punt de la funció d'abscissa x=-1, i l'equació de la recta tangent

Punt

El punt és parenthèse gauche moins 1 virgule espace f parenthèse gauche moins 1 parenthèse droite parenthèse droite

            f parenthèse gauche gras moins gras 1 parenthèse droite égal à moins parenthèse gauche moins 1 parenthèse droite au cube plus parenthèse gauche moins 1 parenthèse droite égal à moins parenthèse gauche moins 1 parenthèse droite moins 1 égal à 1 moins 1 égal à gras 0

Per tant,  el punt és  gras parenthèse gauche gras moins gras 1 gras virgule gras 0 gras parenthèse droite

Pendent

Calculem f espace apostrophe parenthèse gauche x parenthèse droite égal à moins 3 x au carré plus 1  

Avaluem la derivada en x=-1:         bold italic f gras espace gras apostrophe gras parenthèse gauche gras moins gras 1 gras parenthèse droite égal à moins 3 fois parenthèse gauche moins 1 parenthèse droite au carré plus 1 égal à moins 3 plus 1 égal à gras moins gras 2

Per tant , el pendent és -2

Equació de la recta tangent:
                                                 y moins 0 égal à moins 2 fois parenthèse gauche x moins parenthèse gauche moins 1 parenthèse droite espace espace espace espace espace espace espace bold italic y gras égal à gras moins gras 2 gras fois gras parenthèse gauche bold italic x gras plus gras 1 gras parenthèse droite

                                     O bé:     2 x plus y plus 2 égal à 0         

                

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