Derivades: Derivada d'una funció en un punt

Derivada d'una funció en un punt

Definició

La derivada d'una funció en un punt de la funció d'abscissa x=a és

$bold italic f negrita apóstrofo negrita paréntesis izquierdo bold italic a negrita paréntesis derecho negrita igual pila negrita l negrita i negrita m con negrita x negrita flecha derecha negrita infinito debajo fracción numerador negrita f negrita paréntesis izquierdo negrita a negrita más negrita h negrita paréntesis derecho negrita menos negrita f negrita paréntesis izquierdo negrita a negrita paréntesis derecho entre denominador negrita h fin fracción$

Interpretació geomètrica

La derivada d'una funció en un punt de la funció d'abscissa x=a és el pendent de la recta tangent a la gràfica en aquest punt.

Imaginem una funció f(x) i un punt de la gràfica d'aquesta funció (a, f(a)) on hi hagi una única recta tangent. Sigui $y igual m x más b$ l'equació d'aquesta recta tangent.

Aleshores $f apóstrofo paréntesis izquierdo a paréntesis derecho igual m$

Exemple:

$f paréntesis izquierdo x paréntesis derecho igual menos x al cubo más x$

Trobeu el pendent de la recta tangent en el punt de la funció d'abscissa x=-1, i l'equació de la recta tangent

Punt

El punt és $paréntesis izquierdo menos 1 coma espacio f paréntesis izquierdo menos 1 paréntesis derecho paréntesis derecho$

$f paréntesis izquierdo negrita menos negrita 1 paréntesis derecho igual menos paréntesis izquierdo menos 1 paréntesis derecho al cubo más paréntesis izquierdo menos 1 paréntesis derecho igual menos paréntesis izquierdo menos 1 paréntesis derecho menos 1 igual 1 menos 1 igual negrita 0$

Per tant, el punt és $negrita paréntesis izquierdo negrita menos negrita 1 negrita coma negrita 0 negrita paréntesis derecho$

Pendent

Calculem $f espacio apóstrofo paréntesis izquierdo x paréntesis derecho igual menos 3 x al cuadrado más 1$

Avaluem la derivada en x=-1: $bold italic f negrita espacio negrita apóstrofo negrita paréntesis izquierdo negrita menos negrita 1 negrita paréntesis derecho igual menos 3 por paréntesis izquierdo menos 1 paréntesis derecho al cuadrado más 1 igual menos 3 más 1 igual negrita menos negrita 2$

Per tant , el pendent és -2

Equació de la recta tangent:
$y menos 0 igual menos 2 por paréntesis izquierdo x menos paréntesis izquierdo menos 1 paréntesis derecho espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio bold italic y negrita igual negrita menos negrita 2 negrita por negrita paréntesis izquierdo bold italic x negrita más negrita 1 negrita paréntesis derecho$

O bé: $2 x más y más 2 igual 0$

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Derivada d'una funció en un punt