Previous
Next

Derivada d'una funció en un punt

Definició

La derivada d'una funció en un punt de la funció d'abscissa x=a és

                 bold italic f bold apostrophe bold left parenthesis bold italic a bold right parenthesis bold equals stack bold l bold i bold m with bold x bold rightwards arrow bold infinity below fraction numerator bold f bold left parenthesis bold a bold plus bold h bold right parenthesis bold minus bold f bold left parenthesis bold a bold right parenthesis over denominator bold h end fraction

Interpretació geomètrica

La derivada d'una funció en un punt de la funció d'abscissa x=a és el pendent de la recta tangent a la gràfica en aquest punt.

Imaginem una funció f(x) i un punt de la gràfica d'aquesta funció (a, f(a)) on hi hagi una única recta tangent. Sigui y equals m x plus b l'equació d'aquesta recta tangent.

Aleshores  f apostrophe left parenthesis a right parenthesis equals m

   

Exemple:

f left parenthesis x right parenthesis equals negative x cubed plus x

Trobeu el pendent de la recta tangent en el punt de la funció d'abscissa x=-1, i l'equació de la recta tangent

Punt

El punt és left parenthesis negative 1 comma space f left parenthesis negative 1 right parenthesis right parenthesis

            f left parenthesis bold minus bold 1 right parenthesis equals negative left parenthesis negative 1 right parenthesis cubed plus left parenthesis negative 1 right parenthesis equals negative left parenthesis negative 1 right parenthesis minus 1 equals 1 minus 1 equals bold 0

Per tant,  el punt és  bold left parenthesis bold minus bold 1 bold comma bold 0 bold right parenthesis

Pendent

Calculem f space apostrophe left parenthesis x right parenthesis equals negative 3 x squared plus 1  

Avaluem la derivada en x=-1:         bold italic f bold space bold apostrophe bold left parenthesis bold minus bold 1 bold right parenthesis equals negative 3 times left parenthesis negative 1 right parenthesis squared plus 1 equals negative 3 plus 1 equals bold minus bold 2

Per tant , el pendent és -2

Equació de la recta tangent:
                                                 y minus 0 equals negative 2 times left parenthesis x minus left parenthesis negative 1 right parenthesis space space space space space space space bold italic y bold equals bold minus bold 2 bold times bold left parenthesis bold italic x bold plus bold 1 bold right parenthesis

                                     O bé:     2 x plus y plus 2 equals 0         

                

Previous
Next