Derivades: Derivada d'una funció en un punt

Derivada d'una funció en un punt

Definició

La derivada d'una funció en un punt de la funció d'abscissa x=a és

$bold italic f negreta apòstrof negreta parèntesi esquerre bold italic a negreta parèntesi dret negreta igual pila negreta l negreta i negreta m amb negreta x negreta fletxa dreta negreta infinit a sota fracció numerador negreta f negreta parèntesi esquerre negreta a negreta més negreta h negreta parèntesi dret negreta menys negreta f negreta parèntesi esquerre negreta a negreta parèntesi dret entre denominador negreta h fi fracció$

Interpretació geomètrica

La derivada d'una funció en un punt de la funció d'abscissa x=a és el pendent de la recta tangent a la gràfica en aquest punt.

Imaginem una funció f(x) i un punt de la gràfica d'aquesta funció (a, f(a)) on hi hagi una única recta tangent. Sigui $y igual m x més b$ l'equació d'aquesta recta tangent.

Aleshores $f apòstrof parèntesi esquerre a parèntesi dret igual m$

Exemple:

$f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual menys x al cub més x$

Trobeu el pendent de la recta tangent en el punt de la funció d'abscissa x=-1, i l'equació de la recta tangent

Punt

El punt és $parèntesi esquerre menys 1 coma espai f parèntesi esquerre menys 1 parèntesi dret parèntesi dret$

$f parèntesi esquerre negreta menys negreta 1 parèntesi dret igual menys parèntesi esquerre menys 1 parèntesi dret al cub més parèntesi esquerre menys 1 parèntesi dret igual menys parèntesi esquerre menys 1 parèntesi dret menys 1 igual 1 menys 1 igual negreta 0$

Per tant, el punt és $negreta parèntesi esquerre negreta menys negreta 1 negreta coma negreta 0 negreta parèntesi dret$

Pendent

Calculem $f espai apòstrof parèntesi esquerre x parèntesi dret igual menys 3 x al quadrat més 1$

Avaluem la derivada en x=-1: $bold italic f negreta espai negreta apòstrof negreta parèntesi esquerre negreta menys negreta 1 negreta parèntesi dret igual menys 3 per parèntesi esquerre menys 1 parèntesi dret al quadrat més 1 igual menys 3 més 1 igual negreta menys negreta 2$

Per tant , el pendent és -2

Equació de la recta tangent:
$y menys 0 igual menys 2 per parèntesi esquerre x menys parèntesi esquerre menys 1 parèntesi dret espai espai espai espai espai espai espai bold italic y negreta igual negreta menys negreta 2 negreta per negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta més negreta 1 negreta parèntesi dret$

O bé: $2 x més y més 2 igual 0$

Propietat intel·lectual i drets d'autoria

Derivada d'una funció en un punt