Resum Límits i continuïtat: Discontinuïtats | ioc-batx

Discontinuïtats

Hi ha tres tipus de discontinuïtat: evitable, de salt finit i de salt infinit o asimptòtica.

Per definició una funció és contínua en x=a si es compleixen les tres condicions següents:

$1. Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen f linke klammer a rechte klammer Leerzeichen e x i s t e i x 2. Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Limes als x rechtspfeil a von f linke klammer x rechte klammer Leerzeichen e x i s t e i x 3. Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Limes als x rechtspfeil a von f linke klammer x rechte klammer Leerzeichen gleich f linke klammer a rechte klammer$

Depèn de la o les condicions que no es compleixin tindrem un tipus de discontinuïtat o un altre

Cas 1: Discontinuïtat evitable en x=a

El límit en x=a existeix i és finit (límits laterals coincideixen) però no coincideix amb la imatge f(a) ( ja sigui perquè no n’hi ha o bé perquè és un nombre diferent).

Exemple 1:

öffnen Tabellenattribute Spaltenausrichtung right Ende Attribute Zeile Zelle öffnen Tabellenattribute Spaltenausrichtung right Ende Attribute Zeile Zelle Limes als x rechtspfeil 2 hoch plus von Leerzeichen f linke klammer x rechte klammer gleich 4 Ende Zelle Zeile Zelle Limes als x rechtspfeil 2 hoch minus von Leerzeichen f linke klammer x rechte klammer gleich 4 Ende Zelle Ende Tabelle geschweifte Klammern schließen rechtspfeil Limes als x rechtspfeil 2 von Leerzeichen f linke klammer x rechte klammer gleich 4 P e r ò Leerzeichen f linke klammer 2 rechte klammer Leerzeichen n o Leerzeichen e x i s t e i x Ende Zelle Zeile blank Ende Tabelle geschweifte Klammern schließen dicker rechtspfeil f linke klammer x rechte klammer Leerzeichen t é Leerzeichen u n a Leerzeichen d i s c o n t i n u ï t a t Leerzeichen e v i t a b l e Leerzeichen e n Leerzeichen x gleich 2

Exemple 2:

öffnen Tabellenattribute Spaltenausrichtung right Ende Attribute Zeile Zelle öffnen Tabellenattribute Spaltenausrichtung right Ende Attribute Zeile Zelle Limes als x rechtspfeil 2 hoch plus von Leerzeichen f linke klammer x rechte klammer gleich 2 Ende Zelle Zeile Zelle Limes als x rechtspfeil 2 hoch minus von Leerzeichen f linke klammer x rechte klammer gleich 2 Ende Zelle Ende Tabelle geschweifte Klammern schließen rechtspfeil Limes als x rechtspfeil 2 von Leerzeichen f linke klammer x rechte klammer gleich 2 f linke klammer 2 rechte klammer gleich 3 Leerzeichen p e r ò Leerzeichen n o Leerzeichen c o i n c i d e i x Leerzeichen Ende Zelle Zeile Zelle a m b Leerzeichen e l Leerzeichen l í m i t Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Ende Zelle Ende Tabelle geschweifte Klammern schließen dicker rechtspfeil f linke klammer x rechte klammer Leerzeichen t é Leerzeichen u n a Leerzeichen d i s c o n t i n u ï t a t Leerzeichen e v i t a b l e Leerzeichen e n Leerzeichen x gleich 2

Cas 2: Discontinuïtat de salt finit en x=a

El límit en x=a no existeix perquè els laterals són diferents . I a més són finits .

La imatge f(a) pot existir o no (no importa)

Exemple 3:

öffnen Tabellenattribute Spaltenausrichtung right Ende Attribute Zeile Zelle öffnen Tabellenattribute Spaltenausrichtung right Ende Attribute Zeile Zelle Limes als x rechtspfeil 2 hoch plus von Leerzeichen f linke klammer x rechte klammer gleich 4 Ende Zelle Zeile Zelle Limes als x rechtspfeil 2 hoch minus von Leerzeichen f linke klammer x rechte klammer gleich 1 Ende Zelle Ende Tabelle geschweifte Klammern schließen rechtspfeil Limes als x rechtspfeil 2 von Leerzeichen f linke klammer x rechte klammer gleich existiert nicht f linke klammer 2 rechte klammer gleich 1 Leerzeichen Ende Zelle Zeile blank Ende Tabelle geschweifte Klammern schließen dicker rechtspfeil f linke klammer x rechte klammer Leerzeichen t é Leerzeichen u n a Leerzeichen d i s c o n t i n u ï t a t Leerzeichen d e Leerzeichen s a l t Leerzeichen f i n i t Leerzeichen e n Leerzeichen x gleich 2

Cas 3: Discontinuïtat asimptòtica o de salt infinit en x=a

Un dels límits laterals en x=a o els dos dóna ∞

La imatge f(a) pot existir o no (no importa)

Exemple 4:

öffnen Tabellenattribute Spaltenausrichtung right Ende Attribute Zeile Zelle öffnen Tabellenattribute Spaltenausrichtung right Ende Attribute Zeile Zelle Limes als x rechtspfeil 2 hoch plus von Leerzeichen f linke klammer x rechte klammer gleich 2 Ende Zelle Zeile Zelle Limes als x rechtspfeil 2 hoch minus von Leerzeichen f linke klammer x rechte klammer gleich plus unendlichkeitszeichen Ende Zelle Ende Tabelle geschweifte Klammern schließen rechtspfeil Limes als x rechtspfeil 2 von Leerzeichen f linke klammer x rechte klammer gleich existiert nicht f linke klammer 2 rechte klammer gleich 2 Leerzeichen Ende Zelle Zeile blank Ende Tabelle geschweifte Klammern schließen dicker rechtspfeil f linke klammer x rechte klammer Leerzeichen t é Leerzeichen u n a Leerzeichen d i s c o n t i n u ï t a t Leerzeichen a s i m p t ò t i c a Leerzeichen e n Leerzeichen x gleich 2