Definició límit

Definició límit

1. Límit d'una funció en un punt

Definició

El límit d'una funció f(x) quan x tendeix a a  és on s'aproxima la funció quan les x s'aproximen al valor de a. 

Exemple

 Veiem  que en aquest cas quan els valors de x s'aproximen a 0, els valors de la funció no s'aproximen a cap nombre real sinó que es fan tan grans com vulgem.  En aquest cas el límit és ∞      

x	0'1	0'01	0'001	0'0001	0
f(x)	10	100	1000	10000	∞

2. Límit en l'infinit d'una funció 

Definició

. El límit d'una funció f(x) quan x tendeix a +∞ és on s'aproxima la funció quan prenem valors de x cada vegada més grans 

. El límit d'una funció f(x) quan x tendeix a -∞ és on s'aproxima la funció quan prenem valors de x cada vegada més petits 

Exemple

x	10	100	1000	10000	+∞
f(x)	0'1	0'01	0'001	0'0001	0

x	-10	-100	-1000	-10000	-∞
f(x)	-0'1	-0'01	-0'001	-0'0001	0

En aquest cas    , podem escriure:  

Càlcul del límit d'una funció en un punt

Càlcul del límit d'una funció en un punt

Per calcular el que hem de fer en primer lloc és substituir, en l'expressió de la funció, la x per a i fer els càlculs. Ens podem trobar amb tres casos :

1.  Que el resultat doni un nombre i per tant aquest serà el valor del límit

      Exemples

       a)                

       b)          

       c)  

2.  Que ens doni una indeterminació. En els altres apartats d'aquest llibre expliquem com resoldre algunes d'aquestes indeterminacions. 

       Exemple  

                  el límit encara NO està calculat.

       En aquest cas,  hem de resoldre aquesta indeterminació  (veure apartat  Resolució indeterminació 0/0 )

3. Que ens doni una expressió de on k és un nombre real. El signe de l'infinit dependrà del signe de k i del 0 . Si necessitem saber el signe de l'infinit (per dibuixar per exemple una asímptota  vertical) podeu anar a l'apartat Límits laterals

         Exemple

       Potser amb aquest resultat tenim prou. Si volem determinar el signe d'aquest infinit, hem de fer els límits laterals: 

         .   Límit per la dreta:               

         .   Límit per l'esquerra:    

Càlcul de límits en una funció a trossos

Càlcul de límits en una funció a trossos

Càlcul de límits en una funció a trossos

Com trobar límits en una funció a trossos ?

Per calcular el límit d'una funció en x=a podem distingir entre dos casos:

1. Que x = a no sigui un punt de trencament de la funció
2. Que x = a sigui un punt de trencament de la funció (punt on la funció canvia d'expressió)

Cas 1:
En aquest cas per calcular el límit sols cal que fem el límit utilitzant l'expressió de la funció que correspon a l 'interval on pertany x=a

Cas 2 :

En aquest cas l'expressió de la funció a utilitzar canvia si fem el límit per l'esquerra o per la dreta. Per tant hem de fer els límits laterals en x=a.

Sols existirà el límit de la funció en x=a en el cas que aquests límits laterals coincideixin. I en aquest cas

Exemple :

Calculem els límits en x=-5, -3, -2, 0, 0'5, 1 i 1'5

En x = -5

En x = -3 hi ha un punt de trencament de la funció per tant cal calcular els límits laterals

En x = -2

En x = 0   és un punt de trencament de la funció per tant cal calcular els límits laterals

 En aquest cas en x=0 no té límit però sí és del domini, ja que  

En x = 0'5

En x =1 hi ha un trencament de la funció per tant cal calcular els límits laterals

En x = 1'5

Cassos possibles en el càlcul de límits

Indeterminació ∞/∞

Com resolc la indeterminació      en el  cas    

  on p(x) i q(x) són polinomis 

                                p(x) = axⁿ+.....    

                                 q(x)=bx^m+.....

En aquest cas procedim a comparar els graus dels polinomis

A.   

       Observació : el signe de l'infinit dependrà del signe de l'infinit i dels signes dels coeficients de major grau dels polinomis

B.  

C.  

Exemples (CAS A)

Exemples (CAS B)

Exemples  (CAS C)

Indeterminació ∞ - ∞

Com resolc la indeterminació ∞ - ∞ ?

Aquest tipus d'indeterminacions apareix quan es calcula el límit en l'infinit de diferents funcions polinòmiques, racionals o irracionals. Per a cada cas hi ha una tècnica diferent per resoldre-la

CAS A: límit de polinomis

En aquest cas el límit del polinomi queda igual que el límit dels terme de major grau

CAS B: quan tenim una suma o resta de fraccions algebraiques

En aquest cas cal reduir l'expressió a una única fracció algebraica (fent la suma o resta de fraccions i tornar a fer el límit. Normalment torna a sortir una indeterminació però més fàcil de resoldre (normalment )

CAS B: quan tenim una suma o resta d'una funció irracional amb un polinomi o una fracció algebraica

En aquest cas cal multiplicar tota l'expressió pel conjugat d'ella mateixa, arreglar i tornar a fer el límit. Normalment torna a sortir una indeterminació però més fàcil de resoldre (normalment )

Exemple 1 (CAS A):

Exemple 2 (CAS B):

Exemple 3 (CAS C):

Indeterminació 0/0

Com resolc la indeterminació 0/0?

Si   , per resoldre aquesta indeterminació dependrà de l'expressió f(x).    

En limitarem al cas  on f(x) és una funció racional, és a dir una divisió entre dos polinomis. En aquest cas procedim a factoritzar els dos polinomis, simplificar i finalment tornar a fer el límit

Exemple 1

Exemple 2

Exemple 3

Exemple 4

                                                     (si volem determinar el signe de l'∞ hem de fer els límits laterals)

Límits laterals

Límits laterals

Com puc calcular els límits laterals?

Per calcular el límit lateral d'una funció en x = a cal substituir la x per aquest valor. Si dóna un nombre concret doncs aquest és el límit.

però si dóna una expressió de l'estil llavors cal mirar el signe d'aquest 0 substituint l'expressió que dóna el 0 per valors molt propers a x=a.

El resultat pot ser un nombre molt proper a 0 però positiu (0⁺) o bé negatiu (0^-).

En aquest cas dependrà també del valor de k per decidir el signe del resultat final. Per exemple:

Aneu en compte que l'infinit no te límits laterals. Una cosa és el nombre + ∞ i una altra el - ∞ !

Exemple 1:

Substituïm en l'expressió x-1 la x per un nombre molt proper a 1 per la seva dreta per exemple 1'000001.

veiem que dóna un nombre molt proper a zero i positiu (0⁺) i per tant ja podem dir .

Exemple 2:

Exemple 3:

Substituïm en l'expressió x²-1 la x per un nombre molt proper a 1 per la seva dreta per exemple 0'99999.

veiem que dóna un nombre molt proper a zero i negatiu (0^-) i per tant ja podem dir .

Exemple 4:

Substituïm en l'expressió la x per un nombre molt proper a -2 per la seva esquerra per exemple -2'000001.

veiem que dóna un nombre molt proper a zero i negatiu (0^-) i per tant ja podem dir .

Exemple 5:

Substituïm en l'expressió la x per un nombre molt proper a -2 per la seva dreta per exemple -1'99999.

veiem que dóna un nombre molt proper a zero i positiu (0⁺) i per tant ja podem dir .

Discontinuïtats

Com puc distingir entre els diferents tipus de discontinuïtat?

Hi ha tres tipus de discontinuïtat: evitable, de salt finit i de salt infinit o asimptòtica.

Per definició una funció és contínua en x=a si es compleixen les tres condicions següents:

Depèn de la o les condicions que no es compleixin tindrem un tipus de discontinuïtat o un altre

Cas 1: Discontinuïtat evitable en x=a

El límit en x=a existeix i és finit (límits laterals coincideixen) però no coincideix amb la imatge f(a) ( ja sigui perquè no n’hi ha o bé perquè és un nombre diferent).

Exemple 1:

Exemple 2:

Cas 2: Discontinuïtat de salt finit en x=a

El límit en x=a no existeix perquè els laterals són diferents . I a més són finits .

La imatge f(a) pot existir o no (no importa)

Exemple 3:

Cas 3: Discontinuïtat asimptòtica o de salt infinit en x=a

Un dels límits laterals en x=a o els dos dóna ∞

La imatge f(a) pot existir o no (no importa)

Exemple 4:

Asímptotes

Són rectes a les quals la funció s'apropa.

Poden ser de 3 tipus:

- Asímptotes horitzontals   y=k

- Asímptotes verticals   x=k

- Asímptotes obliqües (no les estudiarem en aquest bloc). 

Asímptotes verticals

Asímptotes verticals

Com podem trobar les asímptotes verticals d'una funció?

Una funció té una asímptota vertical en x = a si  

Majoritàriament, els possibles valors de x on pot passar això són els punts que no són del domini i els punts que sent del domini hi ha algun límit lateral que dóna ∞

Un cop detectats aquests punts cal comprovar que  .

Per poder dibuixar la gràfica de la funció al voltant d'aquesta asímptota, cal fer els límits laterals. I en funció del resultat podem saber com van les branques de l'asímptota.

Exemple 1

 Dom(f(x))=

Mirem si hi ha asímptota en x=-1

Exemple 2

Dom(f(x))=

Mirem si hi ha asímptota en x=2

Per determinar els signes de l'∞, fem els límits laterals:

Exemple 3

Dom(f(x))=

Mirem si hi ha asímptota en x=2

Per determinar els signes de l'∞, fem els límits laterals:

Exemple 4

Dom(f(x))=

Mirem si hi ha asímptota en x=2

Per determinar els signes de l'∞, fem els límits laterals:

Exemple 5

Dom(f(x))=

Mirem si hi ha asímptota en x=3   i en x=-3

Exemple 6

Dom(f(x))=

Mirem si hi ha asímptota en x = 1

Mirem si hi ha asímptota en x = -1

Per determinar els signes de l'∞, fem els límits laterals:

Asímptotes horitzontals

Asímptotes horitzontals

Com podem trobar les asímptotes horitzontals d'una funció?

Una funció té una asímptota horitzontal    si

Llavors:

• Si la funció és polinòmica:  No pot tenir asímptotes horitzontals ja qualsevol d'aquests límits dóna

• Si la funció és racional:  és a dir del tipus on p(x) i q(x) són polinomis, aleshores dependrà del grau dels polinomis.

Exemple :

• Si en l'expressió de la funció hi ha una expressió exponencial:  cal tenir en compte que
  

Exemple :