Resum Límits i continuïtat: Discontinuïtats | ioc-batx

Discontinuïtats

Hi ha tres tipus de discontinuïtat: evitable, de salt finit i de salt infinit o asimptòtica.

Per definició una funció és contínua en x=a si es compleixen les tres condicions següents:

$1. espai espai espai espai espai f parèntesi esquerre a parèntesi dret espai e x i s t e i x 2. espai espai espai espai espai límit quan x fletxa dreta a de f parèntesi esquerre x parèntesi dret espai e x i s t e i x 3. espai espai espai espai espai límit quan x fletxa dreta a de f parèntesi esquerre x parèntesi dret espai igual f parèntesi esquerre a parèntesi dret$

Depèn de la o les condicions que no es compleixin tindrem un tipus de discontinuïtat o un altre

Cas 1: Discontinuïtat evitable en x=a

El límit en x=a existeix i és finit (límits laterals coincideixen) però no coincideix amb la imatge f(a) ( ja sigui perquè no n’hi ha o bé perquè és un nombre diferent).

Exemple 1:

obre taula atributs alineació columna right fin atributs fila cel·la obre taula atributs alineació columna right fin atributs fila cel·la límit quan x fletxa dreta 2 elevat a més de espai f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual 4 fi cel·la fila cel·la límit quan x fletxa dreta 2 elevat a menys de espai f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual 4 fi cel·la fi taula tanca claus fletxa dreta límit quan x fletxa dreta 2 de espai f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual 4 P e r ò espai f parèntesi esquerre 2 parèntesi dret espai n o espai e x i s t e i x fi cel·la fila blank fi taula tanca claus fletxa doble dreta f parèntesi esquerre x parèntesi dret espai t é espai u n a espai d i s c o n t i n u ï t a t espai e v i t a b l e espai e n espai x igual 2

Exemple 2:

obre taula atributs alineació columna right fin atributs fila cel·la obre taula atributs alineació columna right fin atributs fila cel·la límit quan x fletxa dreta 2 elevat a més de espai f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual 2 fi cel·la fila cel·la límit quan x fletxa dreta 2 elevat a menys de espai f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual 2 fi cel·la fi taula tanca claus fletxa dreta límit quan x fletxa dreta 2 de espai f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual 2 f parèntesi esquerre 2 parèntesi dret igual 3 espai p e r ò espai n o espai c o i n c i d e i x espai fi cel·la fila cel·la a m b espai e l espai l í m i t espai espai espai espai espai espai fi cel·la fi taula tanca claus fletxa doble dreta f parèntesi esquerre x parèntesi dret espai t é espai u n a espai d i s c o n t i n u ï t a t espai e v i t a b l e espai e n espai x igual 2

Cas 2: Discontinuïtat de salt finit en x=a

El límit en x=a no existeix perquè els laterals són diferents . I a més són finits .

La imatge f(a) pot existir o no (no importa)

Exemple 3:

obre taula atributs alineació columna right fin atributs fila cel·la obre taula atributs alineació columna right fin atributs fila cel·la límit quan x fletxa dreta 2 elevat a més de espai f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual 4 fi cel·la fila cel·la límit quan x fletxa dreta 2 elevat a menys de espai f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual 1 fi cel·la fi taula tanca claus fletxa dreta límit quan x fletxa dreta 2 de espai f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual no existeix f parèntesi esquerre 2 parèntesi dret igual 1 espai fi cel·la fila blank fi taula tanca claus fletxa doble dreta f parèntesi esquerre x parèntesi dret espai t é espai u n a espai d i s c o n t i n u ï t a t espai d e espai s a l t espai f i n i t espai e n espai x igual 2

Cas 3: Discontinuïtat asimptòtica o de salt infinit en x=a

Un dels límits laterals en x=a o els dos dóna ∞

La imatge f(a) pot existir o no (no importa)

Exemple 4:

obre taula atributs alineació columna right fin atributs fila cel·la obre taula atributs alineació columna right fin atributs fila cel·la límit quan x fletxa dreta 2 elevat a més de espai f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual 2 fi cel·la fila cel·la límit quan x fletxa dreta 2 elevat a menys de espai f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual més infinit fi cel·la fi taula tanca claus fletxa dreta límit quan x fletxa dreta 2 de espai f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual no existeix f parèntesi esquerre 2 parèntesi dret igual 2 espai fi cel·la fila blank fi taula tanca claus fletxa doble dreta f parèntesi esquerre x parèntesi dret espai t é espai u n a espai d i s c o n t i n u ï t a t espai a s i m p t ò t i c a espai e n espai x igual 2