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Cassos possibles en el càlcul de límits

Indeterminació ∞/∞

Com resolc la indeterminació gras infini sur gras infini     en el  cas  empilement gras l gras i gras m avec gras x gras flèche vers la droite gras infini en dessous numérateur de la fraction gras p gras parenthèse gauche gras x gras parenthèse droite au-dessus du dénominateur gras q gras parenthèse gauche gras x gras parenthèse droite fin de la fraction  

  on p(x) i q(x) són polinomis 

                                p(x) = axn+.....    

                                 q(x)=bxm+.....

       

En aquest cas procedim a comparar els graus dels polinomis

A.    S i espace espace bold italic g bold italic r bold italic a bold italic u gras parenthèse gauche bold italic p gras parenthèse gauche bold italic x gras parenthèse droite gras parenthèse droite gras supérieur à bold italic g bold italic r bold italic a bold italic u gras parenthèse gauche bold italic q gras parenthèse gauche bold italic x gras parenthèse droite gras parenthèse droite espace espace flèche vers la droite limite avec x flèche vers la droite infini de numérateur de la fraction p parenthèse gauche x parenthèse droite au-dessus du dénominateur q parenthèse gauche x parenthèse droite fin de la fraction égal à gras plus ou moins gras infini

       Observació : el signe de l'infinit dependrà del signe de l'infinit i dels signes dels coeficients de major grau dels polinomis

B.   S i espace espace bold italic g bold italic r bold italic a bold italic u gras parenthèse gauche bold italic p gras parenthèse gauche bold italic x gras parenthèse droite gras parenthèse droite gras inférieur à bold italic g bold italic r bold italic a bold italic u gras parenthèse gauche bold italic q gras parenthèse gauche bold italic x gras parenthèse droite gras parenthèse droite espace espace flèche vers la droite limite avec x flèche vers la droite infini de numérateur de la fraction p parenthèse gauche x parenthèse droite au-dessus du dénominateur q parenthèse gauche x parenthèse droite fin de la fraction égal à gras 0

C.   S i espace espace bold italic g bold italic r bold italic a bold italic u gras parenthèse gauche bold italic p gras parenthèse gauche bold italic x gras parenthèse droite gras parenthèse droite gras égal à bold italic g bold italic r bold italic a bold italic u gras parenthèse gauche bold italic q gras parenthèse gauche bold italic x gras parenthèse droite gras parenthèse droite espace espace flèche vers la droite limite avec x flèche vers la droite infini de numérateur de la fraction p parenthèse gauche x parenthèse droite au-dessus du dénominateur q parenthèse gauche x parenthèse droite fin de la fraction égal à limite avec x flèche vers la droite infini de numérateur de la fraction bold italic a x puissance n plus fois fois fois au-dessus du dénominateur bold italic b x puissance n plus fois fois fois fin de la fraction égal à gras a sur gras b

                                

Exemples (CAS A)

       limite avec x flèche vers la droite plus infini de numérateur de la fraction moins 2 x puissance 4 plus 1 au-dessus du dénominateur espace 4 x au carré moins 6 x fin de la fraction égal à limite avec x flèche vers la droite plus infini de numérateur de la fraction moins 2 x puissance 4 au-dessus du dénominateur espace 4 x au carré fin de la fraction égal à limite avec x flèche vers la droite plus infini de numérateur de la fraction moins 2 x au carré au-dessus du dénominateur espace 4 fin de la fraction égal à limite avec x flèche vers la droite plus infini de numérateur de la fraction moins 1 au-dessus du dénominateur espace 2 fin de la fraction x au carré égal à numérateur de la fraction moins 1 au-dessus du dénominateur espace 2 fin de la fraction fois parenthèse gauche plus infini parenthèse droite égal à espace cadre englobant espace moins infini espace fin

       limite avec x flèche vers la droite plus infini de numérateur de la fraction moins 2 x au cube plus 1 au-dessus du dénominateur espace 4 x au carré moins 6 x fin de la fraction égal à limite avec x flèche vers la droite plus infini de numérateur de la fraction moins 2 x au cube au-dessus du dénominateur espace 4 x au carré fin de la fraction égal à limite avec x flèche vers la droite plus infini de numérateur de la fraction moins 2 x au-dessus du dénominateur espace 4 fin de la fraction égal à limite avec x flèche vers la droite plus infini de numérateur de la fraction moins 1 au-dessus du dénominateur espace 2 fin de la fraction x égal à numérateur de la fraction moins 1 au-dessus du dénominateur espace 2 fin de la fraction fois parenthèse gauche plus infini parenthèse droite égal à espace cadre englobant espace moins infini espace fin

         limite avec x flèche vers la droite moins infini de numérateur de la fraction moins 2 x au cube plus 1 au-dessus du dénominateur espace 4 x au carré moins 6 x fin de la fraction égal à limite avec x flèche vers la droite moins infini de numérateur de la fraction moins 2 x au cube au-dessus du dénominateur espace 4 x au carré fin de la fraction égal à limite avec x flèche vers la droite moins infini de numérateur de la fraction moins 2 x au-dessus du dénominateur espace 4 fin de la fraction égal à limite avec x flèche vers la droite moins infini de numérateur de la fraction moins 1 au-dessus du dénominateur espace 2 fin de la fraction x égal à numérateur de la fraction moins 1 au-dessus du dénominateur espace 2 fin de la fraction fois parenthèse gauche moins infini parenthèse droite égal à espace cadre englobant plus infini espace fin

Exemples (CAS B)

      limite avec x flèche vers la droite moins infini de numérateur de la fraction moins 2 x plus 1 au-dessus du dénominateur espace espace x au carré plus 4 x moins 6 fin de la fraction égal à limite avec x flèche vers la droite moins infini de numérateur de la fraction moins 2 x au-dessus du dénominateur espace espace x au carré fin de la fraction égal à limite avec x flèche vers la droite moins infini de numérateur de la fraction moins 2 au-dessus du dénominateur espace espace x fin de la fraction égal à numérateur de la fraction moins 2 au-dessus du dénominateur moins infini fin de la fraction égal à espace cadre entourant 0

        limite avec x flèche vers la droite moins infini de numérateur de la fraction 3 au-dessus du dénominateur espace espace x au carré moins 6 fin de la fraction égal à numérateur de la fraction 3 au-dessus du dénominateur plus infini fin de la fraction égal à espace cadre entourant 0

Exemples  (CAS C)

limite avec x flèche vers la droite plus infini de numérateur de la fraction moins 4 x au cube plus 3 x moins 1 au-dessus du dénominateur 2 x au cube plus 5 x plus 3 fin de la fraction égal à limite avec x flèche vers la droite plus infini de numérateur de la fraction moins 4 x au cube au-dessus du dénominateur 2 x au cube fin de la fraction égal à espace cadre englobant moins 2 fin

  limite avec x flèche vers la droite moins infini de numérateur de la fraction 7 x moins x au carré au-dessus du dénominateur 49 plus 2 x au carré fin de la fraction égal à limite avec x flèche vers la droite moins infini de numérateur de la fraction moins x au carré au-dessus du dénominateur 2 x au carré fin de la fraction égal à espace cadre englobant moins 1 demi fin

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