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5. Asímptotes

5.1. Asímptotes verticals

Com podem trobar les asímptotes verticals d'una funció?

Una funció té una asímptota vertical en x = a si   empilement gras l gras i gras m avec gras x gras flèche vers la droite gras a en dessous bold italic f gras parenthèse gauche bold italic x gras parenthèse droite gras égal à gras infini

Majoritàriament, els possibles valors de x on pot passar això són els punts que no són del domini i els punts que sent del domini hi ha algun límit lateral que dóna ∞

Un cop detectats aquests punts cal comprovar que  limite avec x flèche vers la droite a de f parenthèse gauche x parenthèse droite égal à infini.

Per poder dibuixar la gràfica de la funció al voltant d'aquesta asímptota, cal fer els límits laterals. I en funció del resultat podem saber com van les branques de l'asímptota.

Exemple 1

bold italic f gras parenthèse gauche bold italic x gras parenthèse droite gras égal à numérateur de la fraction gras 1 au-dessus du dénominateur gras x gras plus gras 1 fin de la fraction 

 Dom(f(x))= simple nombres réels moins accolade gauche moins 1 accolade droite

Mirem si hi ha asímptota en x=-1

limite avec x flèche vers la droite moins 1 de espace numérateur de la fraction 1 au-dessus du dénominateur x plus 1 fin de la fraction égal à 1 sur 0 égal à infini espace espace flèche vers la droite espace espace espace bold italic x gras égal à gras moins gras 1 gras espace gras espace bold italic é bold italic s gras espace bold italic A gras. bold italic V

                                                                               

Per determinar els signes de l'infini, fem els límits laterals:

  début tableau d'attributs aligné sur la right fin des attributs ligne cellule limite avec x flèche vers la droite moins 1 puissance plus de espace numérateur de la fraction 1 au-dessus du dénominateur x plus 1 fin de la fraction égal à 1 sur 0 puissance plus égal à plus infini fin de cellule ligne cellule limite avec x flèche vers la droite moins 1 puissance moins de espace numérateur de la fraction 1 au-dessus du dénominateur x plus 1 fin de la fraction égal à 1 sur 0 puissance moins égal à moins infini fin de cellule fin de tableau accolade fermée                                                                                                                  

   

                

Exemple 2

bold italic f gras parenthèse gauche bold italic x gras parenthèse droite gras égal à numérateur de la fraction gras moins gras x au-dessus du dénominateur gras x gras moins gras 2 fin de la fraction 

Dom(f(x))= simple nombres réels moins accolade gauche 2 accolade droite

Mirem si hi ha asímptota en x=2

  limite avec x flèche vers la droite 2 de numérateur de la fraction moins x au-dessus du dénominateur x moins 2 fin de la fraction égal à 2 sur 0 égal à infini espace espace flèche vers la droite espace espace espace bold italic x gras égal à gras 2 gras espace bold italic é bold italic s gras espace bold italic A gras. bold italic V      

                                                                   

Per determinar els signes de l'∞, fem els límits

laterals: 

début tableau d'attributs aligné sur la right fin des attributs ligne cellule limite avec x flèche vers la droite 2 puissance plus de numérateur de la fraction moins x au-dessus du dénominateur x moins 2 fin de la fraction égal à numérateur de la fraction moins 2 au-dessus du dénominateur 0 puissance plus fin de la fraction égal à moins infini fin de cellule ligne cellule limite avec x flèche vers la droite 2 puissance moins de numérateur de la fraction moins x au-dessus du dénominateur x moins 2 fin de la fraction égal à numérateur de la fraction moins 2 au-dessus du dénominateur 0 puissance moins fin de la fraction égal à plus infini fin de cellule fin de tableau accolade fermée  

   
 

Exemple 3

bold italic f gras parenthèse gauche bold italic x gras parenthèse droite gras égal à gras x sur ouvrir la parenthèse gras x gras moins gras 2 fermer la parenthèse puissance gras 2 

Dom(f(x))= simple nombres réels moins accolade gauche 2 accolade droite

Mirem si hi ha asímptota en x=2

limite avec x flèche vers la droite 2 de espace x sur ouvrir la parenthèse x moins 2 fermer la parenthèse au carré égal à 2 sur 0 égal à infini espace flèche vers la droite espace espace gras espace bold italic x gras égal à gras 2 gras espace bold italic é bold italic s gras espace bold italic A gras. bold italic V             

                          

Per determinar els signes de l'∞, fem els límits laterals:     

début tableau d'attributs aligné sur la right fin des attributs ligne cellule limite avec x flèche vers la droite 2 puissance plus de x sur ouvrir la parenthèse x moins 2 fermer la parenthèse au carré égal à 2 sur 0 puissance plus égal à plus infini fin de cellule ligne cellule limite avec x flèche vers la droite 2 puissance moins de x sur ouvrir la parenthèse x moins 2 fermer la parenthèse au carré égal à 2 sur 0 puissance plus égal à plus infini fin de cellule fin de tableau accolade fermée                  

  

Exemple 4

bold italic f gras parenthèse gauche bold italic x gras parenthèse droite gras égal à numérateur de la fraction gras moins gras x au-dessus du dénominateur ouvrir la parenthèse gras x gras moins gras 2 fermer la parenthèse puissance gras 2 fin de la fraction 

Dom(f(x))= simple nombres réels moins accolade gauche 2 accolade droite

Mirem si hi ha asímptota en x=2

limite avec x flèche vers la droite 2 de espace numérateur de la fraction moins x au-dessus du dénominateur ouvrir la parenthèse x moins 2 fermer la parenthèse au carré fin de la fraction égal à numérateur de la fraction moins 2 au-dessus du dénominateur 0 fin de la fraction égal à infini espace espace flèche vers la droite espace bold italic x gras égal à gras 2 gras espace bold italic é bold italic s gras espace bold italic A gras. bold italic V              

              

 Per determinar els signes de l'∞, fem els límits laterals: 

début tableau d'attributs aligné sur la right fin des attributs ligne cellule limite avec x flèche vers la droite 2 puissance plus de numérateur de la fraction moins x au-dessus du dénominateur ouvrir la parenthèse x moins 2 fermer la parenthèse au carré fin de la fraction égal à numérateur de la fraction moins 2 au-dessus du dénominateur 0 puissance plus fin de la fraction égal à moins infini fin de cellule ligne cellule limite avec x flèche vers la droite 2 puissance moins de numérateur de la fraction moins x au-dessus du dénominateur ouvrir la parenthèse x moins 2 fermer la parenthèse au carré fin de la fraction égal à numérateur de la fraction moins 2 au-dessus du dénominateur 0 puissance plus fin de la fraction égal à moins infini fin de cellule fin de tableau accolade fermée                         

  

          

Exemple 5

bold italic f gras parenthèse gauche bold italic x gras parenthèse droite gras égal à numérateur de la fraction gras x gras moins gras 2 au-dessus du dénominateur gras x puissance gras 2 gras moins gras 9 fin de la fraction 

Dom(f(x))= simple nombres réels moins accolade gauche plus ou moins 3 accolade droite

Mirem si hi ha asímptota en x=3   i en x=-3

     x égal à 3

   gras lim avec gras x gras flèche vers la droite gras 3 en dessous espace numérateur de la fraction gras x gras moins gras 2 au-dessus du dénominateur gras x puissance gras 2 gras moins gras 9 fin de la fraction égal à 1 sur 0 égal à infini espace espace espace flèche vers la droite espace bold italic x gras égal à gras 3 gras espace bold italic é bold italic s gras espace bold italic A gras. bold italic V espace    

  Per determinar els signes de l'∞, fem els límits laterals:                                    

début tableau d'attributs aligné sur la right fin des attributs ligne cellule limite avec simple x flèche vers la droite 3 puissance plus de espace numérateur de la fraction simple x moins 2 au-dessus du dénominateur simple x au carré moins 9 fin de la fraction égal à 1 sur 0 puissance plus égal à plus infini fin de cellule ligne cellule limite avec simple x flèche vers la droite 3 puissance moins de espace numérateur de la fraction simple x moins 2 au-dessus du dénominateur simple x au carré moins 9 fin de la fraction égal à 1 sur 0 puissance moins égal à moins infini fin de cellule fin de tableau accolade fermée    

     x égal à moins 3

 gras lim avec gras x gras flèche vers la droite gras moins gras 3 en dessous espace numérateur de la fraction gras x gras moins gras 2 au-dessus du dénominateur gras x puissance gras 2 gras moins gras 9 fin de la fraction égal à 1 sur 0 égal à infini espace espace flèche vers la droite espace bold italic x gras égal à gras moins gras 3 gras espace bold italic é bold italic s gras espace bold italic A gras. bold italic V espace

Per determinar els signes de l'∞, fem els límits laterals:

début tableau d'attributs aligné sur la right fin des attributs ligne cellule limite avec simple x flèche vers la droite moins 3 puissance plus de espace numérateur de la fraction simple x moins 2 au-dessus du dénominateur simple x au carré moins 9 fin de la fraction égal à 1 sur 0 puissance moins égal à moins infini fin de cellule ligne cellule limite avec simple x flèche vers la droite moins 3 puissance moins de espace numérateur de la fraction simple x moins 2 au-dessus du dénominateur simple x au carré moins 9 fin de la fraction égal à 1 sur 0 puissance plus égal à plus infini fin de cellule fin de tableau accolade fermée

 
 
 

 

Exemple 6

bold italic f gras parenthèse gauche bold italic x gras parenthèse droite gras égal à numérateur de la fraction gras x gras moins gras 1 au-dessus du dénominateur gras x puissance gras 2 gras moins gras 1 fin de la fraction 

Dom(f(x))= simple nombres réels moins accolade gauche moins 1 virgule espace 1 accolade droite

Mirem si hi ha asímptota en x = 1

limite avec x flèche vers la droite 1 de numérateur de la fraction x moins 1 au-dessus du dénominateur x au carré moins 1 fin de la fraction égal à 0 sur 0 espace espace espace flèche vers la droite espace espace limite avec x flèche vers la droite 1 de numérateur de la fraction trait barré ascendant sur parenthèse gauche x moins 1 parenthèse droite fin du trait au-dessus du dénominateur trait barré ascendant sur parenthèse gauche x moins 1 parenthèse droite fin du trait parenthèse gauche x plus 1 parenthèse droite fin de la fraction égal à 1 demi double flèche vers la droite bold italic N bold italic o gras espace bold italic h bold italic i gras espace bold italic h bold italic a gras espace bold italic A bold italic V gras espace bold italic e bold italic n gras espace bold italic x gras égal à gras 1

Mirem si hi ha asímptota en x = -1

limite avec x flèche vers la droite moins 1 de espace numérateur de la fraction x moins 1 au-dessus du dénominateur x au carré moins 1 fin de la fraction égal à numérateur de la fraction moins 2 au-dessus du dénominateur 0 fin de la fraction égal à infini espace espace flèche vers la droite espace bold italic x gras égal à gras moins gras 1 gras espace bold italic é bold italic s gras espace bold italic A bold italic V       

             

   Per determinar els signes de l'∞, fem els límits laterals:

début tableau d'attributs aligné sur la right fin des attributs ligne cellule limite avec x flèche vers la droite moins 1 puissance plus de numérateur de la fraction x moins 1 au-dessus du dénominateur x au carré moins 1 fin de la fraction égal à numérateur de la fraction moins 2 au-dessus du dénominateur 0 puissance moins fin de la fraction égal à plus infini fin de cellule ligne cellule limite avec x flèche vers la droite moins 1 puissance moins de numérateur de la fraction x moins 1 au-dessus du dénominateur x au carré moins 1 fin de la fraction égal à numérateur de la fraction moins 2 au-dessus du dénominateur 0 puissance plus fin de la fraction égal à moins infini fin de cellule fin de tableau accolade fermée

                                                                                                         		    
   
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