Resum Funcions

1. Punts d'una funció

Els punts d'una funció f(x) són de la forma

És a dir, per punts (x,y) d'una funció donem valors a x i substituïm aquest valor en la funció per trobar y.

Diem que f(x) és la imatge de x per la funció f(x)

Exemple

Observacions:

- Veiem que per al valor  no podem trobar la seva imatge per f(x), ja que ens donaria    però  no és cap nombre real.

   En aquest cas, 2 no és del domini de la funció.  (Veure el punt 2 d'aquest llibre)

   No podem trobar la imatge de tots els valors d'x, només dels valors d'x que són del domini de la funció.

   El domini d'aquesta funció és  

   Per a tots els valors de x, excepte per a x=2, podem trobar la seva imatge per la funció f

   Fer una taula de valors com l'anterior per trobar punts de la funció no és suficient per trobar la gràfica de la funció.  Més endavant estudiarem com fer les gràfiques d'algunes funcion. 

- En el cas que la funció sigui una recta, sí serà suficient amb trobar 2 punts.   

   Exemple de recta

     (Normalment en el cas de rectes, en comptes de f(x) posem y    

     Punts:

            Punt

            Punt

2. Domini d'una funció

Domini d'una funció f és el conjunt de nombres reals on la funciío està definida. És a dir, que tenen imatge per f.

Ho podem designar per D(f),  D_f,  dom(f)

El càlcul del domini d'una funció, depenent de com sigui aquesta funció, pot ser complicat.  Però en aquest bloc  ens limitarem a casos senzills:

Funcions polinòmiques

    El domini d'una funció polinòmica és tot (nombres reals)

    Exemples

Funció racional

    Una funció racional és de la forma   

    El domini és tots els nombres excepte els que anul·len el denominador

    Exemples

     f) 

Funció irracional   

     Veiem alguns exemples

           podríem posar també 

           podríem posar també 

3. Funció a trossos

Una funció definida a trossos és una funció que no està definida amb la mateixa forma algebraica per a tots els seus punts.

Exemple:

O també la podríem expressar així:

Punts d'aquesta funció.  Per exemple: 

Observacions:

• En l'interval   posem interval tancat per la dreta per tal d'incloure l'1 ja que volem tots els valors 
• En l'interval   posem interval obert per la dreta per tal de no incloure l'1 ja que volem tots els valors  
• En els extrem infinits sempre posem interval obert, ja que  no és cap nombre
• En els exemples anteriors no hem pogut fer el cas x=3 ja que seria f(3)=1/0 però 1/0 no és cap nombre 

Domini d'aquesta funció

- En l'interval com que la funció  és una recta,  tots els punts de l'interval són del domini

- En l'interval , el domini de la funció és tots els nombres reals excepte el 3

   Com que el 3 està en en l'interval  , ho hem d'excloure del domini total de la funció f(x)

   Per tant:                       

La gràfica de la funció és aquesta: 

(f(x)=x sí ho sabeu dibuixar però no encara f(x)=1/(x-3))

Observació:

Mireu la diferència en el domini d'aquesta altra funció:

En aquest cas x=3 sí és del domini de la funció ja que com que 

f(3) = 3

Per tant, en l'únic valor de x que podria haver problema, x=3, no hi ha ja que per a aquest valor la funció és f(x)=x

La gràfica de la funció (encara no la sabeu trobar) és aquesta: 

4. Paràbola

Una paràbola és una funció de la forma    amb

Gràfica d'una paràbola.

Per fer el gràfic d'una paràbola trobem els seus punts més significatius:

- Talls amb l'eix x    La paràbola talla a l'eix x en les solucions de l'equació 

- Tall amb l'eix y    (0,f(0))

- Vèrtex   La coordenada x del vèrtex és 

                 Per trobar la coordenada y, substituïm aquest valor de x en ax²+bx+c

- Si  la paràbola "mira" cap a dalt

  Si  la paràbola "mira" cap a baix

4.1. Exemple 1

Gràfic de la paràbola 

- Talls amb l'eix x

         Talls amb l'eix x: 

- Tall amb l'eix y

          Tall amb l'eix y: 

- Vèrtex

          Per calcular la coordenada y del vèrtex substituïm en la funció:

          Vèrtex 

- Gràfica

  Observació:

       Si el coeficient de la  x² és positiu   la paràbola "mira" cap a dalt

       Si el coeficient de la  x² és negatiu  la paràbola "mira" cap a baix

4.2. Exemple 2

Gràfic de la paràbola

- Talls amb l'eix x

          Per resoldre aquesta equació de segon grau incompleta no apliquem la fórmula de l'equació de segon grau 

          Ho fem més senzill extraient factor comú x:

          Talls amb l'eix x: 

- Tall amb l'eix y

          Tall amb l'eix y: 

- Vèrtex

        Per calcular la coordenada y del vèrtex substituïm en la funció:

          Vèrtex

- Gràfica

  Observació:

       Si el coeficient de la  x² és positiu   la paràbola "mira" cap a dalt

       Si el coeficient de la  x² és negatiu  la paràbola "mira" cap a baix

5. Asímptotes

Són rectes a les quals la funció s'apropa.  

Poden ser de 3 tipus:

- Asímptotes horitzontals   y=k

- Asímptotes verticals   x=k

- Asímptotes obliqües (no les estudiarem en aquest bloc). 

5.1. Asímptotes verticals

Com podem trobar les asímptotes verticals d'una funció?

Una funció té una asímptota vertical en x = a si  

Majoritàriament, els possibles valors de x on pot passar això són els punts que no són del domini i els punts que sent del domini hi ha algun límit lateral que dóna ∞

Un cop detectats aquests punts cal comprovar que  .

Per poder dibuixar la gràfica de la funció al voltant d'aquesta asímptota, cal fer els límits laterals. I en funció del resultat podem saber com van les branques de l'asímptota.

Exemple 1

 Dom(f(x))=

Mirem si hi ha asímptota en x=-1

Exemple 2

Dom(f(x))=

Mirem si hi ha asímptota en x=2

Per determinar els signes de l'∞, fem els límits laterals:

Exemple 3

Dom(f(x))=

Mirem si hi ha asímptota en x=2

Per determinar els signes de l'∞, fem els límits laterals:

Exemple 4

Dom(f(x))=

Mirem si hi ha asímptota en x=2

Per determinar els signes de l'∞, fem els límits laterals:

Exemple 5

Dom(f(x))=

Mirem si hi ha asímptota en x=3   i en x=-3

Exemple 6

Dom(f(x))=

Mirem si hi ha asímptota en x = 1

Mirem si hi ha asímptota en x = -1

Per determinar els signes de l'∞, fem els límits laterals:

5.2. Asímptotes horitzontals

Com podem trobar les asímptotes horitzontals d'una funció?

Una funció té una asímptota horitzontal    si

Llavors:

• Si la funció és polinòmica:  No pot tenir asímptotes horitzontals ja qualsevol d'aquests límits dóna

• Si la funció és racional:  és a dir del tipus on p(x) i q(x) són polinomis, aleshores dependrà del grau dels polinomis.

Exemple :

• Si en l'expressió de la funció hi ha una expressió exponencial:  cal tenir en compte que
  

Exemple :