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5. Asímptotes

5.1. Asímptotes verticals

Com podem trobar les asímptotes verticals d'una funció?

Una funció té una asímptota vertical en x = a si   pila negrita l negrita i negrita m con negrita x negrita flecha derecha negrita a debajo bold italic f negrita paréntesis izquierdo bold italic x negrita paréntesis derecho negrita igual negrita infinito

Majoritàriament, els possibles valors de x on pot passar això són els punts que no són del domini i els punts que sent del domini hi ha algun límit lateral que dóna ∞

Un cop detectats aquests punts cal comprovar que  límite cuando x flecha derecha a de f paréntesis izquierdo x paréntesis derecho igual infinito.

Per poder dibuixar la gràfica de la funció al voltant d'aquesta asímptota, cal fer els límits laterals. I en funció del resultat podem saber com van les branques de l'asímptota.

Exemple 1

bold italic f negrita paréntesis izquierdo bold italic x negrita paréntesis derecho negrita igual fracción numerador negrita 1 entre denominador negrita x negrita más negrita 1 fin fracción 

 Dom(f(x))= normal números reales menos llave izquierda menos 1 llave derecha

Mirem si hi ha asímptota en x=-1

límite cuando x flecha derecha menos 1 de espacio fracción numerador 1 entre denominador x más 1 fin fracción igual fracción 1 entre 0 igual infinito espacio espacio flecha derecha espacio espacio espacio bold italic x negrita igual negrita menos negrita 1 negrita espacio negrita espacio bold italic é bold italic s negrita espacio bold italic A negrita. bold italic V

                                                                               

Per determinar els signes de l'infinito, fem els límits laterals:

  abrir tabla atributos alineación columna right fin atributos fila celda límite cuando x flecha derecha menos 1 elevado a más de espacio fracción numerador 1 entre denominador x más 1 fin fracción igual fracción 1 entre 0 elevado a más igual más infinito fin celda fila celda límite cuando x flecha derecha menos 1 elevado a menos de espacio fracción numerador 1 entre denominador x más 1 fin fracción igual fracción 1 entre 0 elevado a menos igual menos infinito fin celda fin tabla cerrar llaves                                                                                                                  

   

                

Exemple 2

bold italic f negrita paréntesis izquierdo bold italic x negrita paréntesis derecho negrita igual fracción numerador negrita menos negrita x entre denominador negrita x negrita menos negrita 2 fin fracción 

Dom(f(x))= normal números reales menos llave izquierda 2 llave derecha

Mirem si hi ha asímptota en x=2

  límite cuando x flecha derecha 2 de fracción numerador menos x entre denominador x menos 2 fin fracción igual fracción 2 entre 0 igual infinito espacio espacio flecha derecha espacio espacio espacio bold italic x negrita igual negrita 2 negrita espacio bold italic é bold italic s negrita espacio bold italic A negrita. bold italic V      

                                                                   

Per determinar els signes de l'∞, fem els límits

laterals: 

abrir tabla atributos alineación columna right fin atributos fila celda límite cuando x flecha derecha 2 elevado a más de fracción numerador menos x entre denominador x menos 2 fin fracción igual fracción numerador menos 2 entre denominador 0 elevado a más fin fracción igual menos infinito fin celda fila celda límite cuando x flecha derecha 2 elevado a menos de fracción numerador menos x entre denominador x menos 2 fin fracción igual fracción numerador menos 2 entre denominador 0 elevado a menos fin fracción igual más infinito fin celda fin tabla cerrar llaves  

   
 

Exemple 3

bold italic f negrita paréntesis izquierdo bold italic x negrita paréntesis derecho negrita igual fracción negrita x entre abrir paréntesis negrita x negrita menos negrita 2 cerrar paréntesis elevado a negrita 2 

Dom(f(x))= normal números reales menos llave izquierda 2 llave derecha

Mirem si hi ha asímptota en x=2

límite cuando x flecha derecha 2 de espacio fracción x entre abrir paréntesis x menos 2 cerrar paréntesis al cuadrado igual fracción 2 entre 0 igual infinito espacio flecha derecha espacio espacio negrita espacio bold italic x negrita igual negrita 2 negrita espacio bold italic é bold italic s negrita espacio bold italic A negrita. bold italic V             

                          

Per determinar els signes de l'∞, fem els límits laterals:     

abrir tabla atributos alineación columna right fin atributos fila celda límite cuando x flecha derecha 2 elevado a más de fracción x entre abrir paréntesis x menos 2 cerrar paréntesis al cuadrado igual fracción 2 entre 0 elevado a más igual más infinito fin celda fila celda límite cuando x flecha derecha 2 elevado a menos de fracción x entre abrir paréntesis x menos 2 cerrar paréntesis al cuadrado igual fracción 2 entre 0 elevado a más igual más infinito fin celda fin tabla cerrar llaves                  

  

Exemple 4

bold italic f negrita paréntesis izquierdo bold italic x negrita paréntesis derecho negrita igual fracción numerador negrita menos negrita x entre denominador abrir paréntesis negrita x negrita menos negrita 2 cerrar paréntesis elevado a negrita 2 fin fracción 

Dom(f(x))= normal números reales menos llave izquierda 2 llave derecha

Mirem si hi ha asímptota en x=2

límite cuando x flecha derecha 2 de espacio fracción numerador menos x entre denominador abrir paréntesis x menos 2 cerrar paréntesis al cuadrado fin fracción igual fracción numerador menos 2 entre denominador 0 fin fracción igual infinito espacio espacio flecha derecha espacio bold italic x negrita igual negrita 2 negrita espacio bold italic é bold italic s negrita espacio bold italic A negrita. bold italic V              

              

 Per determinar els signes de l'∞, fem els límits laterals: 

abrir tabla atributos alineación columna right fin atributos fila celda límite cuando x flecha derecha 2 elevado a más de fracción numerador menos x entre denominador abrir paréntesis x menos 2 cerrar paréntesis al cuadrado fin fracción igual fracción numerador menos 2 entre denominador 0 elevado a más fin fracción igual menos infinito fin celda fila celda límite cuando x flecha derecha 2 elevado a menos de fracción numerador menos x entre denominador abrir paréntesis x menos 2 cerrar paréntesis al cuadrado fin fracción igual fracción numerador menos 2 entre denominador 0 elevado a más fin fracción igual menos infinito fin celda fin tabla cerrar llaves                         

  

          

Exemple 5

bold italic f negrita paréntesis izquierdo bold italic x negrita paréntesis derecho negrita igual fracción numerador negrita x negrita menos negrita 2 entre denominador negrita x elevado a negrita 2 negrita menos negrita 9 fin fracción 

Dom(f(x))= normal números reales menos llave izquierda más-menos 3 llave derecha

Mirem si hi ha asímptota en x=3   i en x=-3

     x igual 3

   negrita lim con negrita x negrita flecha derecha negrita 3 debajo espacio fracción numerador negrita x negrita menos negrita 2 entre denominador negrita x elevado a negrita 2 negrita menos negrita 9 fin fracción igual fracción 1 entre 0 igual infinito espacio espacio espacio flecha derecha espacio bold italic x negrita igual negrita 3 negrita espacio bold italic é bold italic s negrita espacio bold italic A negrita. bold italic V espacio    

  Per determinar els signes de l'∞, fem els límits laterals:                                    

abrir tabla atributos alineación columna right fin atributos fila celda límite cuando normal x flecha derecha 3 elevado a más de espacio fracción numerador normal x menos 2 entre denominador normal x al cuadrado menos 9 fin fracción igual fracción 1 entre 0 elevado a más igual más infinito fin celda fila celda límite cuando normal x flecha derecha 3 elevado a menos de espacio fracción numerador normal x menos 2 entre denominador normal x al cuadrado menos 9 fin fracción igual fracción 1 entre 0 elevado a menos igual menos infinito fin celda fin tabla cerrar llaves    

     x igual menos 3

 negrita lim con negrita x negrita flecha derecha negrita menos negrita 3 debajo espacio fracción numerador negrita x negrita menos negrita 2 entre denominador negrita x elevado a negrita 2 negrita menos negrita 9 fin fracción igual fracción 1 entre 0 igual infinito espacio espacio flecha derecha espacio bold italic x negrita igual negrita menos negrita 3 negrita espacio bold italic é bold italic s negrita espacio bold italic A negrita. bold italic V espacio

Per determinar els signes de l'∞, fem els límits laterals:

abrir tabla atributos alineación columna right fin atributos fila celda límite cuando normal x flecha derecha menos 3 elevado a más de espacio fracción numerador normal x menos 2 entre denominador normal x al cuadrado menos 9 fin fracción igual fracción 1 entre 0 elevado a menos igual menos infinito fin celda fila celda límite cuando normal x flecha derecha menos 3 elevado a menos de espacio fracción numerador normal x menos 2 entre denominador normal x al cuadrado menos 9 fin fracción igual fracción 1 entre 0 elevado a más igual más infinito fin celda fin tabla cerrar llaves

 
 
 

 

Exemple 6

bold italic f negrita paréntesis izquierdo bold italic x negrita paréntesis derecho negrita igual fracción numerador negrita x negrita menos negrita 1 entre denominador negrita x elevado a negrita 2 negrita menos negrita 1 fin fracción 

Dom(f(x))= normal números reales menos llave izquierda menos 1 coma espacio 1 llave derecha

Mirem si hi ha asímptota en x = 1

límite cuando x flecha derecha 1 de fracción numerador x menos 1 entre denominador x al cuadrado menos 1 fin fracción igual fracción 0 entre 0 espacio espacio espacio flecha derecha espacio espacio límite cuando x flecha derecha 1 de fracción numerador tachado diagonal hacia arriba paréntesis izquierdo x menos 1 paréntesis derecho fin tachado entre denominador tachado diagonal hacia arriba paréntesis izquierdo x menos 1 paréntesis derecho fin tachado paréntesis izquierdo x más 1 paréntesis derecho fin fracción igual 1 medio flecha doble derecha bold italic N bold italic o negrita espacio bold italic h bold italic i negrita espacio bold italic h bold italic a negrita espacio bold italic A bold italic V negrita espacio bold italic e bold italic n negrita espacio bold italic x negrita igual negrita 1

Mirem si hi ha asímptota en x = -1

límite cuando x flecha derecha menos 1 de espacio fracción numerador x menos 1 entre denominador x al cuadrado menos 1 fin fracción igual fracción numerador menos 2 entre denominador 0 fin fracción igual infinito espacio espacio flecha derecha espacio bold italic x negrita igual negrita menos negrita 1 negrita espacio bold italic é bold italic s negrita espacio bold italic A bold italic V       

             

   Per determinar els signes de l'∞, fem els límits laterals:

abrir tabla atributos alineación columna right fin atributos fila celda límite cuando x flecha derecha menos 1 elevado a más de fracción numerador x menos 1 entre denominador x al cuadrado menos 1 fin fracción igual fracción numerador menos 2 entre denominador 0 elevado a menos fin fracción igual más infinito fin celda fila celda límite cuando x flecha derecha menos 1 elevado a menos de fracción numerador x menos 1 entre denominador x al cuadrado menos 1 fin fracción igual fracción numerador menos 2 entre denominador 0 elevado a más fin fracción igual menos infinito fin celda fin tabla cerrar llaves

                                                                                                         		    
   
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