Resum Funcions: Asímptotes verticals

5. Asímptotes

5.1. Asímptotes verticals

Com podem trobar les asímptotes verticals d'una funció?

Una funció té una asímptota vertical en x = a si $pila negreta l negreta i negreta m amb negreta x negreta fletxa dreta negreta a a sota bold italic f negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta igual negreta infinit$

Majoritàriament, els possibles valors de x on pot passar això són els punts que no són del domini i els punts que sent del domini hi ha algun límit lateral que dóna ∞

Un cop detectats aquests punts cal comprovar que $límit quan x fletxa dreta a de f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual infinit$ .

Per poder dibuixar la gràfica de la funció al voltant d'aquesta asímptota, cal fer els límits laterals. I en funció del resultat podem saber com van les branques de l'asímptota.

Exemple 1

$bold italic f negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta igual fracció numerador negreta 1 entre denominador negreta x negreta més negreta 1 fi fracció$

Dom(f(x))= $normal nombres reals menys clau esquerra menys 1 clau dreta$

Mirem si hi ha asímptota en x=-1

$límit quan x fletxa dreta menys 1 de espai fracció numerador 1 entre denominador x més 1 fi fracció igual fracció 1 entre 0 igual infinit espai espai fletxa dreta espai espai espai bold italic x negreta igual negreta menys negreta 1 negreta espai negreta espai bold italic é bold italic s negreta espai bold italic A negreta. bold italic V$

Per determinar els signes de l' $infinit$ , fem els límits laterals:

$obre taula atributs alineació columna right fin atributs fila cel·la límit quan x fletxa dreta menys 1 elevat a més de espai fracció numerador 1 entre denominador x més 1 fi fracció igual fracció 1 entre 0 elevat a més igual més infinit fi cel·la fila cel·la límit quan x fletxa dreta menys 1 elevat a menys de espai fracció numerador 1 entre denominador x més 1 fi fracció igual fracció 1 entre 0 elevat a menys igual menys infinit fi cel·la fi taula tanca claus$

Exemple 2

$bold italic f negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta igual fracció numerador negreta menys negreta x entre denominador negreta x negreta menys negreta 2 fi fracció$

Dom(f(x))= $normal nombres reals menys clau esquerra 2 clau dreta$

Mirem si hi ha asímptota en x=2

$límit quan x fletxa dreta 2 de fracció numerador menys x entre denominador x menys 2 fi fracció igual fracció 2 entre 0 igual infinit espai espai fletxa dreta espai espai espai bold italic x negreta igual negreta 2 negreta espai bold italic é bold italic s negreta espai bold italic A negreta. bold italic V$

Per determinar els signes de l'∞, fem els límits

laterals:

$obre taula atributs alineació columna right fin atributs fila cel·la límit quan x fletxa dreta 2 elevat a més de fracció numerador menys x entre denominador x menys 2 fi fracció igual fracció numerador menys 2 entre denominador 0 elevat a més fi fracció igual menys infinit fi cel·la fila cel·la límit quan x fletxa dreta 2 elevat a menys de fracció numerador menys x entre denominador x menys 2 fi fracció igual fracció numerador menys 2 entre denominador 0 elevat a menys fi fracció igual més infinit fi cel·la fi taula tanca claus$

Exemple 3

$bold italic f negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta igual fracció negreta x entre obre parèntesis negreta x negreta menys negreta 2 tanca parèntesis elevat a negreta 2$

Dom(f(x))= $normal nombres reals menys clau esquerra 2 clau dreta$

Mirem si hi ha asímptota en x=2

$límit quan x fletxa dreta 2 de espai fracció x entre obre parèntesis x menys 2 tanca parèntesis al quadrat igual fracció 2 entre 0 igual infinit espai fletxa dreta espai espai negreta espai bold italic x negreta igual negreta 2 negreta espai bold italic é bold italic s negreta espai bold italic A negreta. bold italic V$

Per determinar els signes de l'∞, fem els límits laterals:

$obre taula atributs alineació columna right fin atributs fila cel·la límit quan x fletxa dreta 2 elevat a més de fracció x entre obre parèntesis x menys 2 tanca parèntesis al quadrat igual fracció 2 entre 0 elevat a més igual més infinit fi cel·la fila cel·la límit quan x fletxa dreta 2 elevat a menys de fracció x entre obre parèntesis x menys 2 tanca parèntesis al quadrat igual fracció 2 entre 0 elevat a més igual més infinit fi cel·la fi taula tanca claus$

Exemple 4

$bold italic f negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta igual fracció numerador negreta menys negreta x entre denominador obre parèntesis negreta x negreta menys negreta 2 tanca parèntesis elevat a negreta 2 fi fracció$

Dom(f(x))= $normal nombres reals menys clau esquerra 2 clau dreta$

Mirem si hi ha asímptota en x=2

$límit quan x fletxa dreta 2 de espai fracció numerador menys x entre denominador obre parèntesis x menys 2 tanca parèntesis al quadrat fi fracció igual fracció numerador menys 2 entre denominador 0 fi fracció igual infinit espai espai fletxa dreta espai bold italic x negreta igual negreta 2 negreta espai bold italic é bold italic s negreta espai bold italic A negreta. bold italic V$

Per determinar els signes de l'∞, fem els límits laterals:

$obre taula atributs alineació columna right fin atributs fila cel·la límit quan x fletxa dreta 2 elevat a més de fracció numerador menys x entre denominador obre parèntesis x menys 2 tanca parèntesis al quadrat fi fracció igual fracció numerador menys 2 entre denominador 0 elevat a més fi fracció igual menys infinit fi cel·la fila cel·la límit quan x fletxa dreta 2 elevat a menys de fracció numerador menys x entre denominador obre parèntesis x menys 2 tanca parèntesis al quadrat fi fracció igual fracció numerador menys 2 entre denominador 0 elevat a més fi fracció igual menys infinit fi cel·la fi taula tanca claus$

Exemple 5

$bold italic f negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta igual fracció numerador negreta x negreta menys negreta 2 entre denominador negreta x elevat a negreta 2 negreta menys negreta 9 fi fracció$

Dom(f(x))= $normal nombres reals menys clau esquerra més-menys 3 clau dreta$

Mirem si hi ha asímptota en x=3 i en x=-3

$x igual 3$

$negreta lim amb negreta x negreta fletxa dreta negreta 3 a sota espai fracció numerador negreta x negreta menys negreta 2 entre denominador negreta x elevat a negreta 2 negreta menys negreta 9 fi fracció igual fracció 1 entre 0 igual infinit espai espai espai fletxa dreta espai bold italic x negreta igual negreta 3 negreta espai bold italic é bold italic s negreta espai bold italic A negreta. bold italic V espai$

Per determinar els signes de l'∞, fem els límits laterals:

$obre taula atributs alineació columna right fin atributs fila cel·la límit quan normal x fletxa dreta 3 elevat a més de espai fracció numerador normal x menys 2 entre denominador normal x al quadrat menys 9 fi fracció igual fracció 1 entre 0 elevat a més igual més infinit fi cel·la fila cel·la límit quan normal x fletxa dreta 3 elevat a menys de espai fracció numerador normal x menys 2 entre denominador normal x al quadrat menys 9 fi fracció igual fracció 1 entre 0 elevat a menys igual menys infinit fi cel·la fi taula tanca claus$

$x igual menys 3$

$negreta lim amb negreta x negreta fletxa dreta negreta menys negreta 3 a sota espai fracció numerador negreta x negreta menys negreta 2 entre denominador negreta x elevat a negreta 2 negreta menys negreta 9 fi fracció igual fracció 1 entre 0 igual infinit espai espai fletxa dreta espai bold italic x negreta igual negreta menys negreta 3 negreta espai bold italic é bold italic s negreta espai bold italic A negreta. bold italic V espai$

Per determinar els signes de l'∞, fem els límits laterals:

$obre taula atributs alineació columna right fin atributs fila cel·la límit quan normal x fletxa dreta menys 3 elevat a més de espai fracció numerador normal x menys 2 entre denominador normal x al quadrat menys 9 fi fracció igual fracció 1 entre 0 elevat a menys igual menys infinit fi cel·la fila cel·la límit quan normal x fletxa dreta menys 3 elevat a menys de espai fracció numerador normal x menys 2 entre denominador normal x al quadrat menys 9 fi fracció igual fracció 1 entre 0 elevat a més igual més infinit fi cel·la fi taula tanca claus$

Exemple 6

$bold italic f negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta parèntesi dret negreta igual fracció numerador negreta x negreta menys negreta 1 entre denominador negreta x elevat a negreta 2 negreta menys negreta 1 fi fracció$

Dom(f(x))= $normal nombres reals menys clau esquerra menys 1 coma espai 1 clau dreta$

Mirem si hi ha asímptota en x = 1

$límit quan x fletxa dreta 1 de fracció numerador x menys 1 entre denominador x al quadrat menys 1 fi fracció igual fracció 0 entre 0 espai espai espai fletxa dreta espai espai límit quan x fletxa dreta 1 de fracció numerador ratllat diagonal cap amunt parèntesi esquerre x menys 1 parèntesi dret fi ratllat entre denominador ratllat diagonal cap amunt parèntesi esquerre x menys 1 parèntesi dret fi ratllat parèntesi esquerre x més 1 parèntesi dret fi fracció igual 1 mig fletxa doble dreta bold italic N bold italic o negreta espai bold italic h bold italic i negreta espai bold italic h bold italic a negreta espai bold italic A bold italic V negreta espai bold italic e bold italic n negreta espai bold italic x negreta igual negreta 1$

Mirem si hi ha asímptota en x = -1

$límit quan x fletxa dreta menys 1 de espai fracció numerador x menys 1 entre denominador x al quadrat menys 1 fi fracció igual fracció numerador menys 2 entre denominador 0 fi fracció igual infinit espai espai fletxa dreta espai bold italic x negreta igual negreta menys negreta 1 negreta espai bold italic é bold italic s negreta espai bold italic A bold italic V$

Per determinar els signes de l'∞, fem els límits laterals:

$obre taula atributs alineació columna right fin atributs fila cel·la límit quan x fletxa dreta menys 1 elevat a més de fracció numerador x menys 1 entre denominador x al quadrat menys 1 fi fracció igual fracció numerador menys 2 entre denominador 0 elevat a menys fi fracció igual més infinit fi cel·la fila cel·la límit quan x fletxa dreta menys 1 elevat a menys de fracció numerador x menys 1 entre denominador x al quadrat menys 1 fi fracció igual fracció numerador menys 2 entre denominador 0 elevat a més fi fracció igual menys infinit fi cel·la fi taula tanca claus$

Propietat intel·lectual i drets d'autoria

5. Asímptotes

5.1. Asímptotes verticals