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10. Problema d'optimització

10.2. Exemple 2

Una empresa de confecció produeix abrics i vestits. Per a la confecció de cada abric es necessiten 6 hores de treball i 2m de roba i per a la confecció d'un vestit 3 hores de treball i 4 m de roba. cada abric produeix un benefici de 80 € i cada vestit un benefici de 50 €. L'empresa disposa de 2850 hores de treball i de 1700 m de roba.

a) Escriu el sistema d'inequacions que satisfà les restriccions del problema.

     hores de treball     metres de roba      benefici   
 abrics           6             2      80
 vestits             3             4      50
        2850         1700

Anomenarem x al nombre d'abrics, i y al de vestits.

Sistema d'inequacions:

                   début de style de taille 14px accolade ouverte table ligne cellule gras 6 gras x gras plus gras 3 gras y gras inférieur ou égal à gras 2850 fin de cellule ligne cellule gras 2 gras x gras plus gras 4 gras y gras inférieur ou égal à gras 1700 fin de cellule ligne cellule gras x gras supérieur ou égal à gras 0 gras virgule gras espace gras y gras supérieur ou égal à gras 0 fin de cellule fin de table fin espace espace espace espace espace espace espace espace espace o espace b e espace espace espace accolade ouverte table ligne cellule gras 2 gras x gras plus gras y gras inférieur ou égal à gras 950 fin de cellule ligne cellule gras x gras plus gras 2 gras y gras inférieur ou égal à gras 850 fin de cellule ligne cellule gras x gras supérieur ou égal à gras 0 gras virgule gras espace gras y gras supérieur ou égal à gras 0 fin de cellule fin de table fin fin de style

b) Dibuixa la regió factible i troba els seus vèrtex.

     Dibuixem les rectes

     début de style de taille 14px 2 x plus y égal à 950 espace espace espace espace flèche vers la droite espace espace p u n t s espace parenthèse gauche 475 virgule 0 parenthèse droite virgule espace parenthèse gauche 0 virgule 950 parenthèse droite fin de style       
     début de style de taille 14px x plus 2 y égal à 850 espace espace flèche vers la droite espace espace p u n t s espace parenthèse gauche 0 virgule 425 parenthèse droite virgule espace espace parenthèse gauche 850 virgule 0 parenthèse droite fin de style

Cadascuna d'aquestes rectes divideix al pla en dos semiplans. Hem de mirar quins semiplans compleixen les inequacions.

2 x plus y inférieur ou égal à 950 espace espace espace espace espace Podem veure que el (0,0) compleix la inequació. Per tant és el semiplà on es troba el (0,0)

   x plus 2 y inférieur ou égal à 850 espace espace  Podem veure que el (0,0) compleix la inequació. Per tant és el semiplà on es troba el (0,0)           

                         

En aquest cas la regió factible és l'interior d'aquest polígon.  Trobem els seus vèrtexs.

début de style de taille 14px accolade ouverte tableau d'attributs aligné sur la left fin des attributs ligne cellule gras 2 bold italic x gras plus bold italic y gras égal à gras 950 gras espace gras espace gras espace gras espace gras espace gras espace gras espace gras espace flèche vers la droite espace y égal à 950 moins 2 x fin de cellule ligne cellule bold italic x gras plus gras 2 bold italic y gras égal à gras 850 gras espace gras espace gras espace gras espace gras espace gras espace gras espace gras espace gras espace x plus 2 fois parenthèse gauche 950 moins 2 x parenthèse droite égal à 850 fin de cellule fin de tableau fin espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace x plus 1900 moins 4 x égal à 850 espace flèche vers la droite espace moins 3 x égal à moins 1050 espace espace flèche vers la droite espace espace x égal à 350 espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace gras espace gras espace gras espace gras espace gras espace gras espace gras espace gras espace gras espace gras espace gras espace gras espace gras espace gras espace gras espace y égal à 950 moins 2 fois 350 égal à 950 moins 700 égal à 250 gras espace gras espace gras espace gras espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace bold italic B gras parenthèse gauche gras 350 gras virgule gras 250 gras parenthèse droite fin de style

Veient el dibuix els altres vèrtexs són obvis. Per tant tenim que els vèrtex de la regió factible són:

A(0,425), B(350,250), C(475,0), D(0,0)

c) Quants abrics i vestits cal fabricar per obtenir el benefici màxim?

    La funció objectiu és:    bold italic F gras parenthèse gauche bold italic x gras virgule bold italic y gras parenthèse droite gras égal à gras 80 bold italic x gras plus gras 50 bold italic y

    En aquest cas volem un màxim d'aquesta funció.

    Avaluem aquesta funció en cadascun dels vèrtexs:

   début de style de taille 14px F parenthèse gauche 0 virgule 425 parenthèse droite égal à 80 fois 0 plus 50 fois 425 égal à 21750 F parenthèse gauche 350 virgule 250 parenthèse droite égal à 80 fois 350 plus 50 fois 250 égal à 28000 plus 12500 égal à gras 40500 F parenthèse gauche 475 virgule 0 parenthèse droite égal à 80 fois 475 plus 50 fois 0 égal à 38000 F parenthèse gauche 0 virgule 0 parenthèse droite égal à 80 fois 0 plus 50 fois 0 égal à 0 fin de style

    Per tant el màxim benefici s'obté fabricant 350 abrics i 250 vestits.

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