Anterior
Següent

10. Problema d'optimització

10.2. Exemple 2

Una empresa de confecció produeix abrics i vestits. Per a la confecció de cada abric es necessiten 6 hores de treball i 2m de roba i per a la confecció d'un vestit 3 hores de treball i 4 m de roba. cada abric produeix un benefici de 80 € i cada vestit un benefici de 50 €. L'empresa disposa de 2850 hores de treball i de 1700 m de roba.

a) Escriu el sistema d'inequacions que satisfà les restriccions del problema.

     hores de treball     metres de roba      benefici   
 abrics           6             2      80
 vestits             3             4      50
        2850         1700

Anomenarem x al nombre d'abrics, i y al de vestits.

Sistema d'inequacions:

                   estil mida 14px obre claus taula fila cel·la negreta 6 negreta x negreta més negreta 3 negreta y negreta menor o igual que negreta 2850 fi cel·la fila cel·la negreta 2 negreta x negreta més negreta 4 negreta y negreta menor o igual que negreta 1700 fi cel·la fila cel·la negreta x negreta major o igual que negreta 0 negreta coma negreta espai negreta y negreta major o igual que negreta 0 fi cel·la fi taula tanca espai espai espai espai espai espai espai espai espai o espai b e espai espai espai obre claus taula fila cel·la negreta 2 negreta x negreta més negreta y negreta menor o igual que negreta 950 fi cel·la fila cel·la negreta x negreta més negreta 2 negreta y negreta menor o igual que negreta 850 fi cel·la fila cel·la negreta x negreta major o igual que negreta 0 negreta coma negreta espai negreta y negreta major o igual que negreta 0 fi cel·la fi taula tanca fi estil

b) Dibuixa la regió factible i troba els seus vèrtex.

     Dibuixem les rectes

     estil mida 14px 2 x més y igual 950 espai espai espai espai fletxa dreta espai espai p u n t s espai parèntesi esquerre 475 coma 0 parèntesi dret coma espai parèntesi esquerre 0 coma 950 parèntesi dret fi estil       
     estil mida 14px x més 2 y igual 850 espai espai fletxa dreta espai espai p u n t s espai parèntesi esquerre 0 coma 425 parèntesi dret coma espai espai parèntesi esquerre 850 coma 0 parèntesi dret fi estil

Cadascuna d'aquestes rectes divideix al pla en dos semiplans. Hem de mirar quins semiplans compleixen les inequacions.

2 x més y menor o igual que 950 espai espai espai espai espai Podem veure que el (0,0) compleix la inequació. Per tant és el semiplà on es troba el (0,0)

   x més 2 y menor o igual que 850 espai espai  Podem veure que el (0,0) compleix la inequació. Per tant és el semiplà on es troba el (0,0)           

                         

En aquest cas la regió factible és l'interior d'aquest polígon.  Trobem els seus vèrtexs.

estil mida 14px obre claus taula atributs alineació columna left fin atributs fila cel·la negreta 2 bold italic x negreta més bold italic y negreta igual negreta 950 negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai fletxa dreta espai y igual 950 menys 2 x fi cel·la fila cel·la bold italic x negreta més negreta 2 bold italic y negreta igual negreta 850 negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai x més 2 per parèntesi esquerre 950 menys 2 x parèntesi dret igual 850 fi cel·la fi taula tanca espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai x més 1900 menys 4 x igual 850 espai fletxa dreta espai menys 3 x igual menys 1050 espai espai fletxa dreta espai espai x igual 350 espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai y igual 950 menys 2 per 350 igual 950 menys 700 igual 250 negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai bold italic B negreta parèntesi esquerre negreta 350 negreta coma negreta 250 negreta parèntesi dret fi estil

Veient el dibuix els altres vèrtexs són obvis. Per tant tenim que els vèrtex de la regió factible són:

A(0,425), B(350,250), C(475,0), D(0,0)

c) Quants abrics i vestits cal fabricar per obtenir el benefici màxim?

    La funció objectiu és:    bold italic F negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta coma bold italic y negreta parèntesi dret negreta igual negreta 80 bold italic x negreta més negreta 50 bold italic y

    En aquest cas volem un màxim d'aquesta funció.

    Avaluem aquesta funció en cadascun dels vèrtexs:

   estil mida 14px F parèntesi esquerre 0 coma 425 parèntesi dret igual 80 per 0 més 50 per 425 igual 21750 F parèntesi esquerre 350 coma 250 parèntesi dret igual 80 per 350 més 50 per 250 igual 28000 més 12500 igual negreta 40500 F parèntesi esquerre 475 coma 0 parèntesi dret igual 80 per 475 més 50 per 0 igual 38000 F parèntesi esquerre 0 coma 0 parèntesi dret igual 80 per 0 més 50 per 0 igual 0 fi estil

    Per tant el màxim benefici s'obté fabricant 350 abrics i 250 vestits.

Anterior
Següent