Resum Geometria i Programació lineal

Una empresa fabrica ordinadors portàtils i de sobretaula i ven tots els que fabrica. L'empresa té capacitat per a fabricar 3000 ordinadors. Per qüestions de mercat, el nombre d'ordinadors de sobretaula no pot ser inferior a la meitat del nombre de portàtils, però tampoc pot superar el nombre de portàtils. L'empresa guanya 100 € per cada ordinador de sobretaula, i un 20% més en la venda de cada portàtil.

a) Escriu el sistema d'inequacions que satisfà les restriccions del problema.

Anomenarem x al nombre d'ordinadors de sobretaula, i y al de portàtils.

Restriccions:
- L'empresa té capacitat per a fabricar 3000 ordinadors  
- El nombre d'ordinadors de sobretaula no pot ser inferior a la meitat del nombre de portàtils.  
- El nombre d'ordinadors no pot superar el nombre de portàtils. 

Sistema d'inequacions:

b) dibuixa la regió factible i troba els seus vèrtex.

     Dibuixem les rectes

Cadascuna d'aquestes rectes divideix al pla en dos semiplans. Hem de mirar quins semiplans compleixen les inequacions.

Podem veure que el (0,0) compleix la inequació. Per tant és el semiplà on es troba el (0,0)

      En aquest cas com que el (0,0) és de la recta, agafem altre punt. Per exemple, el (1000,0).
                        Veiem que    Per tant, és el semiplà on es troba el punt (1000,0)

     Agafem, per exemple, el (1000,0).
                 Com que 1000 > 0, no compleix la inequació. El pla solució no és el pla on es troba el punt  (100,0)              

En aquest cas la regió factible és l'interior d'aquest triangle.  Trobem els seus vèrtexs.

I l'altre vèrtex serà òbviament el

c) Quants ordinadors de cada classe ha de fabricar per tal de maximitzar els seus beneficis?

    La funció objectiu és:    

    En aquest cas volem un màxim d'aquesta funció.

    Avaluem aquesta funció en cadascun dels vèrtexs:

    Per tant el màxim benefici s'obté fabricant 1000 ordinadors portàtils i 2000 de sobretaula.