Resum Geometria i Programació lineal: Inequacions lineals amb dues incògnites

8. Inequacions lineals amb dues incògnites

És una expressió equivalent a

$bold italic a bold italic x negreta més bold italic b bold italic y negreta menor que bold italic c espai espai espai espai espai$

amb qualsevol de les desigualtats <, ≤, >, ≥

Solucions

La solució és un semiplà. Hem de representar gràficament aquest semiplà.

Exemple:

$negreta 2 bold italic x negreta més bold italic y negreta menor o igual que negreta 3$

Dibuixem la recta $2 x més y igual 3$

Per dibuixar-la trobem dos punts qualssevol de la recta:

$x igual 0 espai espai fletxa dreta espai espai 0 més y igual 3 espai espai espai fletxa dreta espai espai y igual 3 espai espai espai fletxa dreta espai espai parèntesi esquerre 0 coma 3 parèntesi dret x igual 1 espai espai fletxa dreta espai espai 2 més y igual 3 espai espai espai fletxa dreta espai espai y igual 1 espai espai espai fletxa dreta espai espai parèntesi esquerre 1 coma 1 parèntesi dret$

Aquesta recta divideix al pla en dos semiplans. La recta és la frontera d'aquests semiplans.

Els punts de la recta verifiquen y=-2x+3

Els punts d'un semiplà verifiquen y<-2x+3 i els de l'altre semiplà verifiquen y>-2x+3

Per saber quin semiplà correspon a cada inequació agafem un punt de cada semiplà i veiem quina desigualtat compleix.

Veiem, per exemple, que el punt (-3,1) compleix y<-2x+3. Tots els punts que es troben en el mateix semiplà que el (-3,1)

compliran y<-2x+3

Tots els punts de l'altre semiplà compliran la desigualtat y>-2x+3. Per exemple, ho podem veure amb el punt

És molt pràctic mirant-ho amb el punt (0,0):

Substituïm el (0,0) en la inequació i mirem si la compleix o no :

En aquest cas veiem que el (0,0) compleix 2·0+0 < 3, per tant compleix la inequació.

Per tant, el semiplà solució és el semiplà que conté al punt (0,0). En el dibuix ho hem indicat en groc.

Quan la desigualtat sigui estricta vol dir que la solució no inclou als punts de la recta i, llavors, la dibuixarem amb un traç continu.

Indiquem en groc el semiplà solució de les corresponents inequacions.

$y menor que menys 2 x més 3$ $y menor o igual que menys 2 x més 3$

$y major que menys 2 x més 3$ $y major o igual que menys 2 x més 3$

Casos particulars.

Si estem treballant amb dues variables però tenim desigualtats amb una única variable, veiem gràficament el semiplà solució:

Exemples:

x < 2 x 2 x > 2 x 2

y < 3 y 3 y > 3 y 2

Propietat intel·lectual i drets d'autoria

8. Inequacions lineals amb dues incògnites