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5. Mix

Exercici:

Donada la funció : f paréntesis izquierdo x paréntesis derecho igual e elevado a x menos x menos 2

a) Demostrar que té una arrel (o zero) en l'interval [0,2]. Useu el Teorema de Bolzano

b) Calculeu els extrems relatius de la funció

Resolució:

a)

f paréntesis izquierdo x paréntesis derecho igual e elevado a x menos x menos 2

f paréntesis izquierdo 0 paréntesis derecho igual e elevado a 0 menos 0 menos 2 igual 1 menos 2 igual menos 1

f paréntesis izquierdo 2 paréntesis derecho igual e al cuadrado menos 2 menos 2 igual e al cuadrado menos 4 igual 3.38

Com f(x) és una funció contínua en l'interval i pren signes contraris en els extrems de l'interval , seguint el Teorema de Bolzano, la funció té almenys una solució (arrel) dins de l'interval


b)

f espacio apóstrofo paréntesis izquierdo x paréntesis derecho igual e elevado a x menos 1 f apóstrofo paréntesis izquierdo x paréntesis derecho espacio igual espacio 0 e elevado a x menos 1 igual 0 flecha doble derecha e elevado a x igual 1 flecha doble derecha envoltorio caja x igual 0 fin envoltorio

Per trobar els extrems relatius cal igualar a zero la derivada de la funció.

Hem resolt l'equació resultant i ara cal saber si correspon a una màxim o a un mínim

Estudiarem el signe de la derivada (creixement) en els següents intervals:



 paréntesis izquierdo menos infinito coma 0 paréntesis derecho
 x=0 paréntesis izquierdo 0 coma más infinito paréntesis derecho
 f '
 f '(-1)=-0,63 derivada negativa
  f '(1) =1,71 derivada positiva
 f  decreix mínim, ja que a l'esquerra la funció
és decreixent i a la dreta és creixent
 creix
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