Exercicis per preparar prova final

lloc:	Cursos IOC - Batxillerat
Curs:	Matemàtiques II (Bloc 2) ~ gener 2020
Llibre:	Exercicis per preparar prova final

Imprès per:	Usuari convidat
Data:	diumenge, 5 de maig 2024, 21:50

Descripció

Exercici

Calculeu $integral subíndex 3 superíndex 30 fracció numerador 2 x entre denominador x al quadrat més 70 fi fracció d x$

Quin seria el primer pas?. Què cal fer?

Respostes:
el primer pas jo diria que és resoldre l'integral sense tenir en compte els límits d'integració
És una integral immediata, la resposta és tipus ln|x2+70| + C

Taula de continguts

1. Derivabilitat
2. Representació de funcions
3. Aplicació derivades
- 3.1. volum capsa
- 3.2. terreny
4. Integrals
- 4.1. Àrea funció exponencial
5. Mix

1. Derivabilitat

Determineu els valors de a i b que fan que la funció f(x) sigui contínua i derivable en tota la recta real.

$f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual obre claus taula atributs alineació columna left fin atributs fila cel·la fracció x entre 2 més a espai espai espai s i espai x menor que 0 fi cel·la fila cel·la x al quadrat més b x menys 1 espai espai s i espai x major o igual que 0 fi cel·la fi taula tanca espai espai$

a) Primer ha de ser contínua per tant, ha de passar que : $pila l i m espai espai espai amb x fletxa dreta 0 elevat a menys a sota f parèntesi esquerre x parèntesi dret espai igual espai f parèntesi esquerre 0 parèntesi dret espai igual pila l i m espai espai espai amb x fletxa dreta 0 elevat a més a sota f parèntesi esquerre x parèntesi dret espai$

b) Segon ha de ser derivable o sigui :

$f espai apòstrof parèntesi esquerre 0 parèntesi dret espai espai p e r espai l apòstrof e s q u e r r a espai igual espai f apòstrof parèntesi esquerre 0 parèntesi dret espai espai p e r espai l a espai d r e t a$

Ànims

Esther

2. Representació de funcions

Sobre aquesta funció : $f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual fracció numerador x menys 1 entre denominador x al quadrat fi fracció$ calculeu

a) Domini i asímptotes

b) Punts de tall

c) màxims mínims i creixement (derivant e igualant a zero)

d) Esbós de la gràfica

Ànims

Esther

Resposta:

3. Aplicació derivades

Hola,

Us proposo un nou exercici :

Trobeu l'equació de la recta tangent a la funció f(x) = x³+2x+1 en el punt x=0

S'ha de començar per:

a) Fer f(0)

b)....

Podeu fer altres propostes d'exercicis, i jo us ajudaré.

Esther

Respostes:

Hola,

primer, com ha dit l'Esther, cal fer f(0), i es troba que f(0)=1.

Després cal trobar la derivada de la funció i trobar f'(0): f'(x)=3x²+2 ; f'(0)=2

Finalment, se substitueix en la recta y-f(a)=f'(a)·(x-a) i queda y=2x+1

És correcte?

Salutacions,

Carlota

3.1. volum capsa

Un nou exercici:

Es vol construir una capsa, sense tapa, a partir d'una cartolina rectangular de 32 cm de llarg i 24 cm d'ample. Per fer-la es retallarà un quadrat a cada cantonada i es doblarà. Quina haurà de ser la dimensió del quadrat tallat per tal que el volum de la capsa resultant sigui màxim?

Primer heu d'escriure el volum V = llarg x ample x alt

Ànims, aporteu idees encara que no esteu segurs de que estiguin bé.

Esther

Solució (donada per un alumne) (és correcta):

$gif.latex?f%28X%29%3D%2832-2x%29%2824-2x$

$gif.latex?f%28X%29%3D4x%5E%7B3%7D-112x%5$

derivem:

$gif.latex?f%27%28X%29%3D12x%5E%7B2%7D-22$

Igualem a zero per trobar els màxims i mínims:

$gif.latex?0%3D12x%5E%7B2%7D-224x+76$

resolem l'equació:

$gif.latex?x_%7B1%7D%3D4%2C526%3B%20x_%7B$

Substituïm a la primera equació per trobar la y corresponent (el volum):

si x=4,526, y=1552,53cm³ (màxim)

si x=14,141, y=-225,1314cm³ (mínim, impossible)

Com que el volum és positiu i estem buscant el volum màxim, ens quedem amb el primer resultat.

Et falta comprovar que és màxim....

3.2. terreny

D’un terreny es desitja vendre un solar rectangular de 12800m2 dividir-lo en tres parcel·les iguals com les que apareixen al dibuix.
Si volem posar una tanca al llindar de les tres parcel·les (vores i separacions de les parcel·les), determineu les dimensions del solar a fi que la longitud de la tanca siga mínima

4. Integrals

Exercici

Calculeu $integral subíndex 3 superíndex 30 fracció numerador 2 x entre denominador x al quadrat més 70 fi fracció d x$

Quin seria el primer pas?. Què cal fer?

Respostes:
1r pas - Resoldre l'integral sense tenir en compte els límits d'integració. És una integral immediata, la resposta és tipus ln|x²+70| + C

2n pas - Regla de Barrow F(b) - F(a) =ln|30²+70| - ln|3²+70| =ln(970) - ln(79)

Qui finalitza aquest exercici ?.

Només falta fer :

$integral subíndex 3 superíndex 30 fracció numerador 2 x entre denominador x al quadrat més 70 fi fracció espai igual obre claudàtors espai L n espai obre barra vertical x al quadrat més 70 espai tanca barra vertical tanca claudàtors espai blanc amb 3 a sota i 30 a sobre espai igual espai espai espai F parèntesi esquerre 30 parèntesi dret espai menys espai F parèntesi esquerre 3 parèntesi dret espai espai igual espai ln espai parèntesi esquerre 30 al quadrat més 70 parèntesi dret menys.....$

Esther

4.1. Àrea funció exponencial

Nou exercici:

Calculeu l'àrea entre 0, i 1 de la funció f(x) =-e^-x

El dibuix de la funció és :

O sigui heu de calcular : $integral subíndex 0 superíndex 1 menys e elevat a menys x fi elevat espai per d x$

Però recordeu que el valor d'un àrea no pot ser negatiu i per tant heu de fer el valor absolut del resultat final.

Esther

Solució:

$obre barra vertical espai integral subíndex 0 superíndex 1 menys e elevat a menys x fi elevat espai per d x tanca barra vertical igual obre barra vertical espai e elevat a menys x fi elevat espai tanca barra vertical blanc gran subíndex 0 superíndex 1 igual espai obre barra vertical e elevat a menys 1 fi elevat menys e elevat a 0 tanca barra vertical igual obre barra vertical fracció 1 entre e menys 1 tanca barra vertical igual 0.632 espai u al quadrat$

5. Mix

Exercici:

Donada la funció : $f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual e elevat a x menys x menys 2$

a) Demostrar que té una arrel (o zero) en l'interval [0,2]. Useu el Teorema de Bolzano

b) Calculeu els extrems relatius de la funció

Resolució:

$f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual e elevat a x menys x menys 2$

$f parèntesi esquerre 0 parèntesi dret igual e elevat a 0 menys 0 menys 2 igual 1 menys 2 igual menys 1$

$f parèntesi esquerre 2 parèntesi dret igual e al quadrat menys 2 menys 2 igual e al quadrat menys 4 igual 3.38$

Com f(x) és una funció contínua en l'interval i pren signes contraris en els extrems de l'interval , seguint el Teorema de Bolzano, la funció té almenys una solució (arrel) dins de l'interval

$f espai apòstrof parèntesi esquerre x parèntesi dret igual e elevat a x menys 1 f apòstrof parèntesi esquerre x parèntesi dret espai igual espai 0 e elevat a x menys 1 igual 0 fletxa doble dreta e elevat a x igual 1 fletxa doble dreta envoltori caixa x igual 0 fi envoltori$

Per trobar els extrems relatius cal igualar a zero la derivada de la funció.

Hem resolt l'equació resultant i ara cal saber si correspon a una màxim o a un mínim

Estudiarem el signe de la derivada (creixement) en els següents intervals:

	$parèntesi esquerre menys infinit coma 0 parèntesi dret$	x=0	$parèntesi esquerre 0 coma més infinit parèntesi dret$
f '	f '(-1)=-0,63 derivada negativa		f '(1) =1,71 derivada positiva
f	decreix	mínim, ja que a l'esquerra la funció és decreixent i a la dreta és creixent	creix