Anterior

5. Mix

Exercici:

Donada la funció : f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual e elevat a x menys x menys 2

a) Demostrar que té una arrel (o zero) en l'interval [0,2]. Useu el Teorema de Bolzano

b) Calculeu els extrems relatius de la funció

Resolució:

a)

f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual e elevat a x menys x menys 2

f parèntesi esquerre 0 parèntesi dret igual e elevat a 0 menys 0 menys 2 igual 1 menys 2 igual menys 1

f parèntesi esquerre 2 parèntesi dret igual e al quadrat menys 2 menys 2 igual e al quadrat menys 4 igual 3.38

Com f(x) és una funció contínua en l'interval i pren signes contraris en els extrems de l'interval , seguint el Teorema de Bolzano, la funció té almenys una solució (arrel) dins de l'interval


b)

f espai apòstrof parèntesi esquerre x parèntesi dret igual e elevat a x menys 1 f apòstrof parèntesi esquerre x parèntesi dret espai igual espai 0 e elevat a x menys 1 igual 0 fletxa doble dreta e elevat a x igual 1 fletxa doble dreta envoltori caixa x igual 0 fi envoltori

Per trobar els extrems relatius cal igualar a zero la derivada de la funció.

Hem resolt l'equació resultant i ara cal saber si correspon a una màxim o a un mínim

Estudiarem el signe de la derivada (creixement) en els següents intervals:



 parèntesi esquerre menys infinit coma 0 parèntesi dret
 x=0 parèntesi esquerre 0 coma més infinit parèntesi dret
 f '
 f '(-1)=-0,63 derivada negativa
  f '(1) =1,71 derivada positiva
 f  decreix mínim, ja que a l'esquerra la funció
és decreixent i a la dreta és creixent
 creix
Anterior