Activitats semestres anteriors: Curs 18/19

1. Curs 18/19

Exercici 1. (4 punts)

Aquesta funció: $P (t) = \frac{5 + t^{2}}{(t + 1)^{2}}$ determina el nombre d'individus, en milions, d'una població. On "t" mesura el nombre d'anys transcorreguts

a) Quina és la població inicial i la població després de 9 anys?.

b) Quina és la taxa de variació mitjana de la població entre t=0 anys i t=9 anys. Expliqueu amb una frase el significat del resultat obtingut.

c) A partir de quin moment la població serà inferior a 1 milió d'individus?

d) Amb els pas dels anys, cap a on tendirà el nombre d'individus de la població?

--------------------------------------------

Exercici 2. (3 punts)

Considerem la funció : $f (x) = \frac{x^{2} - 3 x}{x ² - 4}$ Trobeu l'equació de la recta tangent en el punt x=1

--------------------------------------------

Exercici 3. (3 punts)

Calculeu els valors de a i b per tal que la funció f(x) sigui derivable a tot arreu

$f (x) = \{ja que Ln(0) no existeix$

Per tant aquesta funció mai serà derivable a tot arreu

Però podem estudiar on serà derivable i a on no serà derivable Per què la funció f(x) sigui derivable en x=-3 ha de ser contínua i per tant s'ha de complir que

\underset{x \to (- 3)^{-}}{l i m} f (x) = \underset{x \to (- 3)^{+}}{l i m} f (x) = f (- 3)

$\underset{x \to (- 3)^{-}}{l i m} f (x) = \underset{x \to (- 3)^{-}}{l i m} a x^{2} - 1 = a (- 3)^{2} - (1) = 9 a - 1 \underset{x \to (- 3)^{+}}{l i m} f (x) = \underset{x \to (- 3)^{+}}{l i m} L n ((- 3)^{2}) + b = L n (9) + b f (- 3) = L n (9) + b$

Aquest tres valors han de coincidir : $9 a - 1 = L n (9) + b \Rightarrow 9 a - 1 = 2, 2 + b \Rightarrow 9 a - b = 3, 2$

Per què la funció sigui derivable, les derivades laterals en el punt x=-3 han d'existir i han de ser iguals:

$f' (x) = 2 a x p e r l' e s q u e r r a d e x = - 3 \Rightarrow f' (- 3) = - 6 a f' (x) = \frac{2 x}{x^{2}} + 0 = \frac{2}{x} p e r l a d r e t a d e x = - 3 \Rightarrow f' (- 3) = \frac{2}{- 3}$

Aquest dos valors han de coincidir: $- 6 a = \frac{- 2}{3} \Rightarrow a = \frac{1}{9}$

Ajuntant les dues equacions obtingudes queda : $a = \frac{1}{9} i b = - L n (9) = - 2, 2$

I la funció derivada serà :

$f' (x) = \{$

Propietat intel·lectual i drets d'autoria

1. Curs 18/19