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Exercici:
Donada la funció : f parenthèse gauche x parenthèse droite égal à numérateur de la fraction 2 x au carré plus k x au-dessus du dénominateur x plus 2 k fin de la fraction espace es demana:
Explicar raonadament quin valor ha de tenir el paràmetre k per tal que la funció sigui discontínua en x=6.

Classifiqueu aquesta discontinuïtat.


Solució:

Una funció és contínua en un punt (x=6) si es compleix aquesta igualtat: limite avec x flèche vers la droite 6 puissance plus de f parenthèse gauche x parenthèse droite espace égal à limite avec x flèche vers la droite 6 puissance moins de f parenthèse gauche x parenthèse droite espace égal à f parenthèse gauche 6 parenthèse droite

Aquesta no és una funció a trossos per tant basta calcular el límit quan x tendeix a 6.

limite avec x flèche vers la droite 6 de f parenthèse gauche x parenthèse droite espace égal à limite avec x flèche vers la droite 6 de numérateur de la fraction 2 x au carré plus k x au-dessus du dénominateur x plus 2 k fin de la fraction espace égal à parenthèse gauche c a l espace s u b s t i t u i r espace x espace p e r espace 6 parenthèse droite égal à limite avec x flèche vers la droite 6 de numérateur de la fraction 2 fois 6 au carré plus k parenthèse gauche 6 parenthèse droite au-dessus du dénominateur 6 plus 2 k fin de la fraction égal à numérateur de la fraction 72 plus 6 k au-dessus du dénominateur 6 plus 2 k fin de la fraction égal à numérateur de la fraction trait barré ascendant sur 2 fois parenthèse gauche 36 plus 3 k parenthèse droite au-dessus du dénominateur trait barré ascendant sur 2 fois parenthèse gauche 3 plus k parenthèse droite fin de la fraction égal à numérateur de la fraction 36 plus 3 k au-dessus du dénominateur 3 plus k fin de la fraction

Es vol que la funció sigui discontínua, o sigui es vol que aquest límit no sigui un nombre real.

Això passarà quan el denominador sigui zero. Per tant : 3 plus k égal à 0 espace espace espace espace double flèche vers la droite cadre englobant k égal à moins 3 fin

Observeu que :

limite avec x flèche vers la droite 6 de f parenthèse gauche x parenthèse droite espace égal à limite avec x flèche vers la droite 6 de numérateur de la fraction 2 x au carré plus k x au-dessus du dénominateur x plus 2 k fin de la fraction espace égal à numérateur de la fraction 36 plus 3 k au-dessus du dénominateur 3 plus k fin de la fraction égal à parenthèse gauche a r a espace s u b s t i t u i m espace k égal à moins 3 parenthèse droite égal à numérateur de la fraction 36 plus 3 parenthèse gauche moins 3 parenthèse droite au-dessus du dénominateur 3 plus parenthèse gauche moins 3 parenthèse droite fin de la fraction égal à 27 sur 0 égal à infini

La funció en x=6 té una discontinuïtat asimptòtica, si k= - 3

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