Següent


Continuïtat

Una funció és contínua si la poden dibuixar sense aixecar el llapis de paper. Els punts on sigui necessari aixecar el llapis de paper serà discontínua.


Si de la funció es coneix la gràfica és fàcil respondre a les preguntes: És una funció contínua? I si és discontínua, en quins punts és discontínua? Quins tipus de discontinuïtat té la funció?

Però en la majoria de les ocasions volem saber si la funció és contínua sense tenir la seva representació gràfica. És més, necessitem saber la continuïtat de la funció per tal de trobar de manera més fàcil la seva gràfica.

És per això que estudiarem la continuïtat de la funció o bé a partir de la seva gràfica o bé a partir de l'equació i amb l'ajut dels límits.


Procediment per estudiar la continuïtat d'una funció coneixent la seva expressió algebraica


  • S'ha de calcular el domini de la funció, per detectar possibles punts de discontinuïtat.
  • S'han de calcular límits laterals en aquest punts.
  • Cal calcular les imatges d'aquests punts si existeixen.
  • Si la funció es definida a trossos, cal estudiar també els límits laterals i la imatge dels punts de transició (on es passa d'un tros a l'altra). I esbrinar si compleix aquesta igualtat de límits que determina si una funció és contínua:

límit quan x fletxa dreta obre parèntesis x subíndex 0 tanca parèntesis elevat a menys de espai espai f parèntesi esquerre x parèntesi dret espai igual límit quan x fletxa dreta obre parèntesis x subíndex 0 tanca parèntesis elevat a més de espai espai f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual f parèntesi esquerre x subíndex 0 parèntesi dret


  •

    • Observeu aquests exemples:

    Funció contínua Funció discontínua en x0 amb discontinuïtat evitable

    Aquesta funció és contínua ja que:

    límit quan x fletxa dreta obre parèntesis x subíndex 0 tanca parèntesis elevat a menys de espai espai f parèntesi esquerre x parèntesi dret espai igual límit quan x fletxa dreta obre parèntesis x subíndex 0 tanca parèntesis elevat a més de espai espai f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual f parèntesi esquerre x subíndex 0 parèntesi dret

    Aquesta funció no és contínua. Ell punt (x0, f(x0)) fa que sigui

    discontínua. Els límits laterals (les dues branques) coincideixen.

    límit quan x fletxa dreta obre parèntesis x subíndex 0 tanca parèntesis elevat a menys de espai espai f parèntesi esquerre x parèntesi dret espai igual límit quan x fletxa dreta obre parèntesis x subíndex 0 tanca parèntesis elevat a més de espai espai f parèntesi esquerre x parèntesi dret no igual f parèntesi esquerre x subíndex 0 parèntesi dret
    Funció discontínua en x0 amb discontinuïtat de salt Funció discontínua en x0 amb discontinuïtat asimptòtica

    Aquesta funció no és contínua. Les dues branques no es troben.

    Això fa que la funció sigui discontínua. I ell punt (x0, f(x0)) està situat

    sobre una de les dues branques. Hi ha un salt.

    límit quan x fletxa dreta obre parèntesis x subíndex 0 tanca parèntesis elevat a menys de espai espai f parèntesi esquerre x parèntesi dret espai no igual límit quan x fletxa dreta obre parèntesis x subíndex 0 tanca parèntesis elevat a més de espai espai f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual f parèntesi esquerre x subíndex 0 parèntesi dret

    Aquesta funció no és contínua. Ell punt (x0, f(x0)) no existeix, no és del

    domini de la funció. Les dues branques no es troben i s'enfilen cap al ∞.

    Tot això fa que sigui discontínua.

    límit quan x fletxa dreta obre parèntesis x subíndex 0 tanca parèntesis elevat a menys de espai espai f parèntesi esquerre x parèntesi dret espai no igual límit quan x fletxa dreta obre parèntesis x subíndex 0 tanca parèntesis elevat a més de espai espai f parèntesi esquerre x parèntesi dret     i a més f parèntesi esquerre x subíndex 0 parèntesi dret espai n o espai e x i s t e i x 



    Següent