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Exercici:
Donada la funció : f paréntesis izquierdo x paréntesis derecho igual fracción numerador 2 x al cuadrado más k x entre denominador x más 2 k fin fracción espacio es demana:
Explicar raonadament quin valor ha de tenir el paràmetre k per tal que la funció sigui discontínua en x=6.

Classifiqueu aquesta discontinuïtat.


Solució:

Una funció és contínua en un punt (x=6) si es compleix aquesta igualtat: límite cuando x flecha derecha 6 elevado a más de f paréntesis izquierdo x paréntesis derecho espacio igual límite cuando x flecha derecha 6 elevado a menos de f paréntesis izquierdo x paréntesis derecho espacio igual f paréntesis izquierdo 6 paréntesis derecho

Aquesta no és una funció a trossos per tant basta calcular el límit quan x tendeix a 6.

límite cuando x flecha derecha 6 de f paréntesis izquierdo x paréntesis derecho espacio igual límite cuando x flecha derecha 6 de fracción numerador 2 x al cuadrado más k x entre denominador x más 2 k fin fracción espacio igual paréntesis izquierdo c a l espacio s u b s t i t u i r espacio x espacio p e r espacio 6 paréntesis derecho igual límite cuando x flecha derecha 6 de fracción numerador 2 por 6 al cuadrado más k paréntesis izquierdo 6 paréntesis derecho entre denominador 6 más 2 k fin fracción igual fracción numerador 72 más 6 k entre denominador 6 más 2 k fin fracción igual fracción numerador tachado diagonal hacia arriba 2 por paréntesis izquierdo 36 más 3 k paréntesis derecho entre denominador tachado diagonal hacia arriba 2 por paréntesis izquierdo 3 más k paréntesis derecho fin fracción igual fracción numerador 36 más 3 k entre denominador 3 más k fin fracción

Es vol que la funció sigui discontínua, o sigui es vol que aquest límit no sigui un nombre real.

Això passarà quan el denominador sigui zero. Per tant : 3 más k igual 0 espacio espacio espacio espacio flecha doble derecha envoltorio caja k igual menos 3 fin envoltorio

Observeu que :

límite cuando x flecha derecha 6 de f paréntesis izquierdo x paréntesis derecho espacio igual límite cuando x flecha derecha 6 de fracción numerador 2 x al cuadrado más k x entre denominador x más 2 k fin fracción espacio igual fracción numerador 36 más 3 k entre denominador 3 más k fin fracción igual paréntesis izquierdo a r a espacio s u b s t i t u i m espacio k igual menos 3 paréntesis derecho igual fracción numerador 36 más 3 paréntesis izquierdo menos 3 paréntesis derecho entre denominador 3 más paréntesis izquierdo menos 3 paréntesis derecho fin fracción igual fracción 27 entre 0 igual infinito

La funció en x=6 té una discontinuïtat asimptòtica, si k= - 3

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