Previous
Next

Exercici:
Donada la funció : f left parenthesis x right parenthesis equals fraction numerator 2 x squared plus k x over denominator x plus 2 k end fraction space es demana:
Explicar raonadament quin valor ha de tenir el paràmetre k per tal que la funció sigui discontínua en x=6.

Classifiqueu aquesta discontinuïtat.


Solució:

Una funció és contínua en un punt (x=6) si es compleix aquesta igualtat: limit as x rightwards arrow 6 to the power of plus of f left parenthesis x right parenthesis space equals limit as x rightwards arrow 6 to the power of minus of f left parenthesis x right parenthesis space equals f left parenthesis 6 right parenthesis

Aquesta no és una funció a trossos per tant basta calcular el límit quan x tendeix a 6.

limit as x rightwards arrow 6 of f left parenthesis x right parenthesis space equals limit as x rightwards arrow 6 of fraction numerator 2 x squared plus k x over denominator x plus 2 k end fraction space equals left parenthesis c a l space s u b s t i t u i r space x space p e r space 6 right parenthesis equals limit as x rightwards arrow 6 of fraction numerator 2 times 6 squared plus k left parenthesis 6 right parenthesis over denominator 6 plus 2 k end fraction equals fraction numerator 72 plus 6 k over denominator 6 plus 2 k end fraction equals fraction numerator up diagonal strike 2 times left parenthesis 36 plus 3 k right parenthesis over denominator up diagonal strike 2 times left parenthesis 3 plus k right parenthesis end fraction equals fraction numerator 36 plus 3 k over denominator 3 plus k end fraction

Es vol que la funció sigui discontínua, o sigui es vol que aquest límit no sigui un nombre real.

Això passarà quan el denominador sigui zero. Per tant : 3 plus k equals 0 space space space space rightwards double arrow box enclose k equals negative 3 end enclose

Observeu que :

limit as x rightwards arrow 6 of f left parenthesis x right parenthesis space equals limit as x rightwards arrow 6 of fraction numerator 2 x squared plus k x over denominator x plus 2 k end fraction space equals fraction numerator 36 plus 3 k over denominator 3 plus k end fraction equals left parenthesis a r a space s u b s t i t u i m space k equals negative 3 right parenthesis equals fraction numerator 36 plus 3 left parenthesis negative 3 right parenthesis over denominator 3 plus left parenthesis negative 3 right parenthesis end fraction equals 27 over 0 equals infinity

La funció en x=6 té una discontinuïtat asimptòtica, si k= - 3

Previous
Next