Resum conceptes bàsics del lliurament 2: Estudi continuïtat d'una funció

Exercici:
Donada la funció : $f linke klammer x rechte klammer gleich Zähler 2 x im Quadrat plus k x geteilt durch Nenner x plus 2 k Bruchergebnis Leerzeichen$ es demana:
Explicar raonadament quin valor ha de tenir el paràmetre k per tal que la funció sigui discontínua en x=6.

Classifiqueu aquesta discontinuïtat.

Solució:

Una funció és contínua en un punt (x=6) si es compleix aquesta igualtat: $Limes als x rechtspfeil 6 hoch plus von f linke klammer x rechte klammer Leerzeichen gleich Limes als x rechtspfeil 6 hoch minus von f linke klammer x rechte klammer Leerzeichen gleich f linke klammer 6 rechte klammer$

Aquesta no és una funció a trossos per tant basta calcular el límit quan x tendeix a 6.

$Limes als x rechtspfeil 6 von f linke klammer x rechte klammer Leerzeichen gleich Limes als x rechtspfeil 6 von Zähler 2 x im Quadrat plus k x geteilt durch Nenner x plus 2 k Bruchergebnis Leerzeichen gleich linke klammer c a l Leerzeichen s u b s t i t u i r Leerzeichen x Leerzeichen p e r Leerzeichen 6 rechte klammer gleich Limes als x rechtspfeil 6 von Zähler 2 mal 6 im Quadrat plus k linke klammer 6 rechte klammer geteilt durch Nenner 6 plus 2 k Bruchergebnis gleich Zähler 72 plus 6 k geteilt durch Nenner 6 plus 2 k Bruchergebnis gleich Zähler aufwärtsdiagonal Strike 2 mal linke klammer 36 plus 3 k rechte klammer geteilt durch Nenner aufwärtsdiagonal Strike 2 mal linke klammer 3 plus k rechte klammer Bruchergebnis gleich Zähler 36 plus 3 k geteilt durch Nenner 3 plus k Bruchergebnis$

Es vol que la funció sigui discontínua, o sigui es vol que aquest límit no sigui un nombre real.

Això passarà quan el denominador sigui zero. Per tant : $3 plus k gleich 0 Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen dicker rechtspfeil Feld eingeschlossen k gleich minus 3 Ende$

Observeu que :

$Limes als x rechtspfeil 6 von f linke klammer x rechte klammer Leerzeichen gleich Limes als x rechtspfeil 6 von Zähler 2 x im Quadrat plus k x geteilt durch Nenner x plus 2 k Bruchergebnis Leerzeichen gleich Zähler 36 plus 3 k geteilt durch Nenner 3 plus k Bruchergebnis gleich linke klammer a r a Leerzeichen s u b s t i t u i m Leerzeichen k gleich minus 3 rechte klammer gleich Zähler 36 plus 3 linke klammer minus 3 rechte klammer geteilt durch Nenner 3 plus linke klammer minus 3 rechte klammer Bruchergebnis gleich 27 geteilt durch 0 gleich unendlichkeitszeichen$

La funció en x=6 té una discontinuïtat asimptòtica, si k= - 3

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