Anterior
Següent

Exercici:
Donada la funció : f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual fracció numerador 2 x al quadrat més k x entre denominador x més 2 k fi fracció espai es demana:
Explicar raonadament quin valor ha de tenir el paràmetre k per tal que la funció sigui discontínua en x=6.

Classifiqueu aquesta discontinuïtat.


Solució:

Una funció és contínua en un punt (x=6) si es compleix aquesta igualtat: límit quan x fletxa dreta 6 elevat a més de f parèntesi esquerre x parèntesi dret espai igual límit quan x fletxa dreta 6 elevat a menys de f parèntesi esquerre x parèntesi dret espai igual f parèntesi esquerre 6 parèntesi dret

Aquesta no és una funció a trossos per tant basta calcular el límit quan x tendeix a 6.

límit quan x fletxa dreta 6 de f parèntesi esquerre x parèntesi dret espai igual límit quan x fletxa dreta 6 de fracció numerador 2 x al quadrat més k x entre denominador x més 2 k fi fracció espai igual parèntesi esquerre c a l espai s u b s t i t u i r espai x espai p e r espai 6 parèntesi dret igual límit quan x fletxa dreta 6 de fracció numerador 2 per 6 al quadrat més k parèntesi esquerre 6 parèntesi dret entre denominador 6 més 2 k fi fracció igual fracció numerador 72 més 6 k entre denominador 6 més 2 k fi fracció igual fracció numerador ratllat diagonal cap amunt 2 per parèntesi esquerre 36 més 3 k parèntesi dret entre denominador ratllat diagonal cap amunt 2 per parèntesi esquerre 3 més k parèntesi dret fi fracció igual fracció numerador 36 més 3 k entre denominador 3 més k fi fracció

Es vol que la funció sigui discontínua, o sigui es vol que aquest límit no sigui un nombre real.

Això passarà quan el denominador sigui zero. Per tant : 3 més k igual 0 espai espai espai espai fletxa doble dreta envoltori caixa k igual menys 3 fi envoltori

Observeu que :

límit quan x fletxa dreta 6 de f parèntesi esquerre x parèntesi dret espai igual límit quan x fletxa dreta 6 de fracció numerador 2 x al quadrat més k x entre denominador x més 2 k fi fracció espai igual fracció numerador 36 més 3 k entre denominador 3 més k fi fracció igual parèntesi esquerre a r a espai s u b s t i t u i m espai k igual menys 3 parèntesi dret igual fracció numerador 36 més 3 parèntesi esquerre menys 3 parèntesi dret entre denominador 3 més parèntesi esquerre menys 3 parèntesi dret fi fracció igual fracció 27 entre 0 igual infinit

La funció en x=6 té una discontinuïtat asimptòtica, si k= - 3

Anterior
Següent