Resum conceptes bàsics del lliurament 2: Exemple. Estudi continuïtat funció definida a trossos

Estudia la continuïtat de la funció:

f parenthèse gauche x parenthèse droite égal à accolade ouverte tableau d'attributs aligné sur la left left fin des attributs ligne cellule moins x fin de cellule cellule espace espace espace espace s i espace x inférieur à moins 1 fin de cellule ligne cellule x moins 1 fin de cellule cellule espace espace espace espace s i espace moins 1 inférieur ou égal à x inférieur à 3 fin de cellule ligne cellule moins x au carré plus 2 x plus 5 fin de cellule cellule espace espace espace espace s i espace x supérieur ou égal à 3 fin de cellule fin de tableau fin

Resposta :

Cal estudiar cada una de les tres parts de la funció per separat i també els punts de transició d'una funció a l'altra.


Part I	Part II	Part III	Punt de transició entre la part I i la II	Punt de transició entre la part II i la III
g(x)=-x	p(x)=x-1	h(x)=-x²+2x+5	x=-1	x=3
g(x) és funció polinòmica de 1r grau És una recta No cal fer res	p(x) és una funció polinòmica de 1r grau És una recta No cal fer res	h(x) és una funció polinòmica de 2n grau És una recta No cal fer res
Dom g(x) = Reals	Dom p(x) = Reals	Dom h(x) = Reals	x=-1 és del domini	x=3 és del domini

Per tant Dom f(x) = Reals

b) Estudiarem la continuïtat de la funció en x= -1 i en x=3 i classificarem la discontinuïtat, cas que n'hi hagi:

Recordeu que una funció és contínua en un punt x_{0 :}

Estudiarem el comportament de la funció en x=-1

$empilement l i m avec x flèche vers la droite parenthèse gauche moins 1 parenthèse droite puissance moins en dessous f parenthèse gauche x parenthèse droite espace égal à empilement l i m avec x flèche vers la droite parenthèse gauche moins 1 parenthèse droite puissance moins en dessous moins x espace égal à espace moins parenthèse gauche moins 1 parenthèse droite espace égal à espace 1 espace$	A l'esquerra de -1 li correspon la funció de la part I
$empilement l i m avec x flèche vers la droite parenthèse gauche moins 1 parenthèse droite puissance plus en dessous f parenthèse gauche x parenthèse droite espace égal à empilement l i m avec x flèche vers la droite parenthèse gauche moins 1 parenthèse droite puissance plus en dessous x moins 1 espace égal à espace parenthèse gauche moins 1 parenthèse droite moins 1 espace égal à espace moins 2$	A a dreta de -1 li correspon la funció de la part II
	x=-1 per tany a la part II

Veiem que aquest tres valors NO coincideixen per tant la funció és discontínua en x=-1 i és una discontinuïtat de SALT FINIT

c) Estudiarem la continuïtat de la funció en x=3 i la classificarem, cas que n'hi hagi

$empilement l i m avec x flèche vers la droite parenthèse gauche 3 parenthèse droite puissance moins en dessous f parenthèse gauche x parenthèse droite espace égal à empilement l i m avec x flèche vers la droite parenthèse gauche 3 parenthèse droite puissance moins en dessous x moins 1 espace égal à espace 3 moins 1 espace égal à espace 2$	A l'esquerra de 3 li correspon la funció de la part II
$empilement l i m avec x flèche vers la droite parenthèse gauche 3 parenthèse droite puissance plus en dessous f parenthèse gauche x parenthèse droite espace égal à empilement l i m avec x flèche vers la droite parenthèse gauche 3 parenthèse droite puissance plus en dessous moins x au carré plus 2 x plus 5 espace égal à moins espace parenthèse gauche 3 parenthèse droite au carré plus 2 parenthèse gauche 3 parenthèse droite plus 5 espace égal à espace 2$	A a dreta de 3 li correspon la funció de la part III
	x=3 per tany a la part III

Veiem que aquest tres valors SI coincideixen per tant la funció és contínua en x=3