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Justifiqueu que la funció polinòmica f(x) = x3 + x + 1 té un zero comprés entre −1 y 0.

O sigui que aquesta equació x3 + x + 1=0 té una solució, el valor de la qual està entre -1 i 0

Aproximeu aquest valor a 1 decimal.


Resposta:


Buscar el zero d'una funció f(x) és equivalent a resoldre l'equació f(x)=0 i trobar la solució.

A vegades trobar una solució d'una equació és difícil, per això en ocasions es pot usar el T. de Bolzano, i  tractar de "cercar-la"

De l'enunciat es pot pensar que la solució està en  [-1,0], i per tant serà aproximadament : x= -1 o bé x≈-0,9  o bé  x≈-0,8   o bé    x≈-0,7 ....   o bé   x≈-0,1 o bé x=0

Apliquem el T. de Bolzano en l'interval [-1,0]

début de style de taille 12px espace espace espace début table ligne cellule table ligne cellule table ligne cellule table ligne cellule table ligne cellule f parenthèse gauche x parenthèse droite espace é s espace u n a espace f u n c i ó espace p o l i n ò m i c a espace i espace p e r espace t a n t espace é s espace c o n t i n u a espace e n espace e l espace i n t e r v a l espace crochet gauche moins 1 virgule espace 0 crochet droit fin de cellule ligne cellule f parenthèse gauche moins 1 parenthèse droite espace égal à espace parenthèse gauche moins 1 parenthèse droite au cube espace plus espace parenthèse gauche moins 1 parenthèse droite espace plus espace 1 espace égal à espace moins 1 espace inférieur à espace 0 fin de cellule ligne cellule f parenthèse gauche 0 parenthèse droite espace égal à espace 0 espace plus espace 0 espace plus espace 1 supérieur à 0 fin de cellule fin de table fin de cellule fin de table fin de cellule fin de table fin de cellule fin de table fin de cellule fin de table accolade fermée double flèche vers la droite P e l espace T. B o l z a n o espace e x i s t e i x espace u n espace v a l o r espace " c " espace q u e espace espace c espace appartient à espace parenthèse gauche moins 1 virgule espace 0 parenthèse droite espace t a l espace q u e deux points espace f parenthèse gauche c parenthèse droite espace égal à espace 0 fin de style

Per tant segur que hi ha (al menys) un valor que és solució de l'equació i que aquest valor és x≈-0,9  o bé  x≈-0,8   o bé    x≈-0,7 ....   o bé   x≈-0,1


Per afinar més i saber el primer decimal de la solució hem de fer el punt mig de l'interval  [−1, -0.5]

début de style de taille 12px espace espace espace début table ligne cellule table ligne cellule table ligne cellule table ligne cellule table ligne cellule f parenthèse gauche x parenthèse droite espace é s espace u n a espace f u n c i ó espace p o l i n ò m i c a espace i espace p e r espace t a n t espace é s espace c o n t i n u a espace e n espace e l espace i n t e r v a l espace crochet gauche moins 1 virgule espace moins 0.5 crochet droit fin de cellule ligne cellule f parenthèse gauche moins 1 parenthèse droite espace égal à espace parenthèse gauche moins 1 parenthèse droite au cube espace plus espace parenthèse gauche moins 1 parenthèse droite espace plus espace 1 espace égal à espace moins 1 espace inférieur à espace 0 fin de cellule ligne cellule f parenthèse gauche moins 0.5 parenthèse droite espace égal à espace parenthèse gauche moins 0.5 parenthèse droite au cube espace plus espace parenthèse gauche moins 0.5 parenthèse droite espace plus espace 1 égal à 0.375 supérieur à 0 fin de cellule fin de table fin de cellule fin de table fin de cellule fin de table fin de cellule fin de table fin de cellule fin de table accolade fermée double flèche vers la droite P e l espace T. B o l z a n o espace e x i s t e i x espace u n espace v a l o r espace " c " espace q u e espace espace c espace appartient à espace parenthèse gauche moins 1 virgule moins 0.5 parenthèse droite espace t a l espace q u e deux points espace f parenthèse gauche c parenthèse droite espace égal à espace 0 fin de style



 Per tant x≈-0,9  o bé  x≈-0,8   o bé    x≈-0,7 ....   o bé   x≈-0,5


Seguim, tornem a dividir l'interval en dues parts i provarem en l'interval [−1, -0.8]. I si no funciona buscarem en l'interval [−0,8, -0.5]

début de style de taille 12px espace espace espace début table ligne cellule table ligne cellule table ligne cellule table ligne cellule table ligne cellule f parenthèse gauche x parenthèse droite espace é s espace u n a espace f u n c i ó espace p o l i n ò m i c a espace i espace p e r espace t a n t espace é s espace c o n t i n u a espace e n espace e l espace i n t e r v a l espace crochet gauche moins 1 virgule espace moins 0.8 crochet droit fin de cellule ligne cellule f parenthèse gauche moins 1 parenthèse droite espace égal à espace parenthèse gauche moins 1 parenthèse droite au cube espace plus espace parenthèse gauche moins 1 parenthèse droite espace plus espace 1 espace égal à espace moins 1 espace inférieur à espace 0 fin de cellule ligne cellule f parenthèse gauche moins 0.8 parenthèse droite espace égal à espace parenthèse gauche moins 0.8 parenthèse droite au cube espace plus espace parenthèse gauche moins 0.8 parenthèse droite espace plus espace 1 égal à moins 0.312 inférieur à 0 fin de cellule fin de table fin de cellule fin de table fin de cellule fin de table fin de cellule fin de table fin de cellule fin de table accolade fermée double flèche vers la droite N o espace p o d e m espace a p l i c a r espace e l espace T. espace d e espace B o l z a n o fin de style



Provem en [-0,8,-0.5]
début de style de taille 12px espace espace espace début table ligne cellule table ligne cellule table ligne cellule table ligne cellule table ligne cellule f parenthèse gauche x parenthèse droite espace é s espace u n a espace f u n c i ó espace p o l i n ò m i c a espace i espace p e r espace t a n t espace é s espace c o n t i n u a espace e n espace e l espace i n t e r v a l espace crochet gauche moins 0.8 virgule espace moins 0.5 crochet droit fin de cellule ligne cellule f parenthèse gauche moins 0.8 parenthèse droite espace égal à espace parenthèse gauche moins 0.8 parenthèse droite au cube espace plus espace parenthèse gauche moins 0.8 parenthèse droite espace plus espace 1 égal à moins 0.312 inférieur à 0 fin de cellule ligne cellule f parenthèse gauche moins 0.5 parenthèse droite espace égal à espace parenthèse gauche moins 0.5 parenthèse droite au cube espace plus espace parenthèse gauche moins 0.5 parenthèse droite espace plus espace 1 égal à 0.375 supérieur à 0 fin de cellule fin de table fin de cellule fin de table fin de cellule fin de table fin de cellule fin de table fin de cellule fin de table accolade fermée double flèche vers la droite P e l espace T. B o l z a n o espace e x i s t e i x espace u n espace v a l o r espace " c " espace q u e espace espace c espace appartient à espace parenthèse gauche moins 0.8 virgule moins 0.5 parenthèse droite espace t a l espace q u e deux points espace f parenthèse gauche c parenthèse droite espace égal à espace o fin de style
Per tant x≈-0,7  o bé  x≈-0,6   o bé   x≈-0,5


Provem en [-0,8,-0.6]
début de style de taille 12px espace espace espace début table ligne cellule table ligne cellule table ligne cellule table ligne cellule table ligne cellule f parenthèse gauche x parenthèse droite espace é s espace u n a espace f u n c i ó espace p o l i n ò m i c a espace i espace p e r espace t a n t espace é s espace c o n t i n u a espace e n espace e l espace i n t e r v a l espace crochet gauche moins 0.8 virgule espace moins 0.6 crochet droit fin de cellule ligne cellule f parenthèse gauche moins 0.8 parenthèse droite espace égal à espace parenthèse gauche moins 0.8 parenthèse droite au cube espace plus espace parenthèse gauche moins 0.8 parenthèse droite espace plus espace 1 égal à moins 0.312 inférieur à 0 fin de cellule ligne cellule f parenthèse gauche moins 0.6 parenthèse droite espace égal à espace parenthèse gauche moins 0.6 parenthèse droite au cube espace plus espace parenthèse gauche moins 0.6 parenthèse droite espace plus espace 1 égal à 0.184 supérieur à 0 fin de cellule fin de table fin de cellule fin de table fin de cellule fin de table fin de cellule fin de table fin de cellule fin de table accolade fermée double flèche vers la droite P e l espace T. B o l z a n o espace e x i s t e i x espace u n espace v a l o r espace " c " espace q u e espace espace c espace appartient à espace parenthèse gauche moins 0.8 virgule moins 0.6 parenthèse droite espace t a l espace q u e deux points espace f parenthèse gauche c parenthèse droite espace égal à espace o fin de style
Per tant x≈-0,7  o bé  x≈-0,6

Encara hauríem de provar en un interval [-0,8,-0.7]

début de style de taille 12px espace espace espace début table ligne cellule table ligne cellule table ligne cellule table ligne cellule table ligne cellule f parenthèse gauche x parenthèse droite espace é s espace u n a espace f u n c i ó espace p o l i n ò m i c a espace i espace p e r espace t a n t espace é s espace c o n t i n u a espace e n espace e l espace i n t e r v a l espace crochet gauche moins 0.8 virgule espace moins 0.7 crochet droit fin de cellule ligne cellule f parenthèse gauche moins 0.8 parenthèse droite espace égal à espace parenthèse gauche moins 0.8 parenthèse droite au cube espace plus espace parenthèse gauche moins 0.8 parenthèse droite espace plus espace 1 égal à moins 0.312 inférieur à 0 fin de cellule ligne cellule f parenthèse gauche moins 0.7 parenthèse droite espace égal à espace parenthèse gauche moins 0.7 parenthèse droite au cube espace plus espace parenthèse gauche moins 0.7 parenthèse droite espace plus espace 1 égal à moins 0.043 inférieur à 0 fin de cellule fin de table fin de cellule fin de table fin de cellule fin de table fin de cellule fin de table fin de cellule fin de table accolade fermée double flèche vers la droite E l espace T. B o l z a n o espace n o espace f u n c i o n a fin de style

Hauríem de provar en un interval [-0,7,-0.6]
début de style de taille 12px espace espace espace début table ligne cellule table ligne cellule table ligne cellule table ligne cellule table ligne cellule f parenthèse gauche x parenthèse droite espace é s espace u n a espace f u n c i ó espace p o l i n ò m i c a espace i espace p e r espace t a n t espace é s espace c o n t i n u a espace e n espace e l espace i n t e r v a l espace crochet gauche moins 0.7 virgule espace moins 0.6 crochet droit fin de cellule ligne cellule f parenthèse gauche moins 0.7 parenthèse droite espace égal à espace parenthèse gauche moins 0.7 parenthèse droite au cube espace plus espace parenthèse gauche moins 0.7 parenthèse droite espace plus espace 1 égal à moins 0.043 inférieur à 0 fin de cellule ligne cellule f parenthèse gauche moins 0.6 parenthèse droite espace égal à espace parenthèse gauche moins 0.6 parenthèse droite au cube espace plus espace parenthèse gauche moins 0.6 parenthèse droite espace plus espace 1 égal à 0.184 supérieur à 0 fin de cellule fin de table fin de cellule fin de table fin de cellule fin de table fin de cellule fin de table fin de cellule fin de table accolade fermée double flèche vers la droite P e l espace T. B o l z a n o espace e x i s t e i x espace u n espace v a l o r espace " c " espace q u e espace espace c espace appartient à espace parenthèse gauche moins 0.7 virgule moins 0.6 parenthèse droite espace t a l espace q u e deux points espace f parenthèse gauche c parenthèse droite espace égal à espace o fin de style

Per tant   x≈-0,6

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