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Justifiqueu que la funció polinòmica f(x) = x3 + x + 1 té un zero comprés entre −1 y 0.

O sigui que aquesta equació x3 + x + 1=0 té una solució, el valor de la qual està entre -1 i 0

Aproximeu aquest valor a 1 decimal.


Resposta:


Buscar el zero d'una funció f(x) és equivalent a resoldre l'equació f(x)=0 i trobar la solució.

A vegades trobar una solució d'una equació és difícil, per això en ocasions es pot usar el T. de Bolzano, i  tractar de "cercar-la"

De l'enunciat es pot pensar que la solució està en  [-1,0], i per tant serà aproximadament : x= -1 o bé x≈-0,9  o bé  x≈-0,8   o bé    x≈-0,7 ....   o bé   x≈-0,1 o bé x=0

Apliquem el T. de Bolzano en l'interval [-1,0]

estilo tamaño 12px espacio espacio espacio abrir tabla fila celda tabla fila celda tabla fila celda tabla fila celda tabla fila celda f paréntesis izquierdo x paréntesis derecho espacio é s espacio u n a espacio f u n c i ó espacio p o l i n ò m i c a espacio i espacio p e r espacio t a n t espacio é s espacio c o n t i n u a espacio e n espacio e l espacio i n t e r v a l espacio corchete izquierdo menos 1 coma espacio 0 corchete derecho fin celda fila celda f paréntesis izquierdo menos 1 paréntesis derecho espacio igual espacio paréntesis izquierdo menos 1 paréntesis derecho al cubo espacio más espacio paréntesis izquierdo menos 1 paréntesis derecho espacio más espacio 1 espacio igual espacio menos 1 espacio menor que espacio 0 fin celda fila celda f paréntesis izquierdo 0 paréntesis derecho espacio igual espacio 0 espacio más espacio 0 espacio más espacio 1 mayor que 0 fin celda fin tabla fin celda fin tabla fin celda fin tabla fin celda fin tabla fin celda fin tabla cerrar llaves flecha doble derecha P e l espacio T. B o l z a n o espacio e x i s t e i x espacio u n espacio v a l o r espacio " c " espacio q u e espacio espacio c espacio pertenece espacio paréntesis izquierdo menos 1 coma espacio 0 paréntesis derecho espacio t a l espacio q u e dos puntos espacio f paréntesis izquierdo c paréntesis derecho espacio igual espacio 0 fin estilo

Per tant segur que hi ha (al menys) un valor que és solució de l'equació i que aquest valor és x≈-0,9  o bé  x≈-0,8   o bé    x≈-0,7 ....   o bé   x≈-0,1


Per afinar més i saber el primer decimal de la solució hem de fer el punt mig de l'interval  [−1, -0.5]

estilo tamaño 12px espacio espacio espacio abrir tabla fila celda tabla fila celda tabla fila celda tabla fila celda tabla fila celda f paréntesis izquierdo x paréntesis derecho espacio é s espacio u n a espacio f u n c i ó espacio p o l i n ò m i c a espacio i espacio p e r espacio t a n t espacio é s espacio c o n t i n u a espacio e n espacio e l espacio i n t e r v a l espacio corchete izquierdo menos 1 coma espacio menos 0.5 corchete derecho fin celda fila celda f paréntesis izquierdo menos 1 paréntesis derecho espacio igual espacio paréntesis izquierdo menos 1 paréntesis derecho al cubo espacio más espacio paréntesis izquierdo menos 1 paréntesis derecho espacio más espacio 1 espacio igual espacio menos 1 espacio menor que espacio 0 fin celda fila celda f paréntesis izquierdo menos 0.5 paréntesis derecho espacio igual espacio paréntesis izquierdo menos 0.5 paréntesis derecho al cubo espacio más espacio paréntesis izquierdo menos 0.5 paréntesis derecho espacio más espacio 1 igual 0.375 mayor que 0 fin celda fin tabla fin celda fin tabla fin celda fin tabla fin celda fin tabla fin celda fin tabla cerrar llaves flecha doble derecha P e l espacio T. B o l z a n o espacio e x i s t e i x espacio u n espacio v a l o r espacio " c " espacio q u e espacio espacio c espacio pertenece espacio paréntesis izquierdo menos 1 coma menos 0.5 paréntesis derecho espacio t a l espacio q u e dos puntos espacio f paréntesis izquierdo c paréntesis derecho espacio igual espacio 0 fin estilo



 Per tant x≈-0,9  o bé  x≈-0,8   o bé    x≈-0,7 ....   o bé   x≈-0,5


Seguim, tornem a dividir l'interval en dues parts i provarem en l'interval [−1, -0.8]. I si no funciona buscarem en l'interval [−0,8, -0.5]

estilo tamaño 12px espacio espacio espacio abrir tabla fila celda tabla fila celda tabla fila celda tabla fila celda tabla fila celda f paréntesis izquierdo x paréntesis derecho espacio é s espacio u n a espacio f u n c i ó espacio p o l i n ò m i c a espacio i espacio p e r espacio t a n t espacio é s espacio c o n t i n u a espacio e n espacio e l espacio i n t e r v a l espacio corchete izquierdo menos 1 coma espacio menos 0.8 corchete derecho fin celda fila celda f paréntesis izquierdo menos 1 paréntesis derecho espacio igual espacio paréntesis izquierdo menos 1 paréntesis derecho al cubo espacio más espacio paréntesis izquierdo menos 1 paréntesis derecho espacio más espacio 1 espacio igual espacio menos 1 espacio menor que espacio 0 fin celda fila celda f paréntesis izquierdo menos 0.8 paréntesis derecho espacio igual espacio paréntesis izquierdo menos 0.8 paréntesis derecho al cubo espacio más espacio paréntesis izquierdo menos 0.8 paréntesis derecho espacio más espacio 1 igual menos 0.312 menor que 0 fin celda fin tabla fin celda fin tabla fin celda fin tabla fin celda fin tabla fin celda fin tabla cerrar llaves flecha doble derecha N o espacio p o d e m espacio a p l i c a r espacio e l espacio T. espacio d e espacio B o l z a n o fin estilo



Provem en [-0,8,-0.5]
estilo tamaño 12px espacio espacio espacio abrir tabla fila celda tabla fila celda tabla fila celda tabla fila celda tabla fila celda f paréntesis izquierdo x paréntesis derecho espacio é s espacio u n a espacio f u n c i ó espacio p o l i n ò m i c a espacio i espacio p e r espacio t a n t espacio é s espacio c o n t i n u a espacio e n espacio e l espacio i n t e r v a l espacio corchete izquierdo menos 0.8 coma espacio menos 0.5 corchete derecho fin celda fila celda f paréntesis izquierdo menos 0.8 paréntesis derecho espacio igual espacio paréntesis izquierdo menos 0.8 paréntesis derecho al cubo espacio más espacio paréntesis izquierdo menos 0.8 paréntesis derecho espacio más espacio 1 igual menos 0.312 menor que 0 fin celda fila celda f paréntesis izquierdo menos 0.5 paréntesis derecho espacio igual espacio paréntesis izquierdo menos 0.5 paréntesis derecho al cubo espacio más espacio paréntesis izquierdo menos 0.5 paréntesis derecho espacio más espacio 1 igual 0.375 mayor que 0 fin celda fin tabla fin celda fin tabla fin celda fin tabla fin celda fin tabla fin celda fin tabla cerrar llaves flecha doble derecha P e l espacio T. B o l z a n o espacio e x i s t e i x espacio u n espacio v a l o r espacio " c " espacio q u e espacio espacio c espacio pertenece espacio paréntesis izquierdo menos 0.8 coma menos 0.5 paréntesis derecho espacio t a l espacio q u e dos puntos espacio f paréntesis izquierdo c paréntesis derecho espacio igual espacio o fin estilo
Per tant x≈-0,7  o bé  x≈-0,6   o bé   x≈-0,5


Provem en [-0,8,-0.6]
estilo tamaño 12px espacio espacio espacio abrir tabla fila celda tabla fila celda tabla fila celda tabla fila celda tabla fila celda f paréntesis izquierdo x paréntesis derecho espacio é s espacio u n a espacio f u n c i ó espacio p o l i n ò m i c a espacio i espacio p e r espacio t a n t espacio é s espacio c o n t i n u a espacio e n espacio e l espacio i n t e r v a l espacio corchete izquierdo menos 0.8 coma espacio menos 0.6 corchete derecho fin celda fila celda f paréntesis izquierdo menos 0.8 paréntesis derecho espacio igual espacio paréntesis izquierdo menos 0.8 paréntesis derecho al cubo espacio más espacio paréntesis izquierdo menos 0.8 paréntesis derecho espacio más espacio 1 igual menos 0.312 menor que 0 fin celda fila celda f paréntesis izquierdo menos 0.6 paréntesis derecho espacio igual espacio paréntesis izquierdo menos 0.6 paréntesis derecho al cubo espacio más espacio paréntesis izquierdo menos 0.6 paréntesis derecho espacio más espacio 1 igual 0.184 mayor que 0 fin celda fin tabla fin celda fin tabla fin celda fin tabla fin celda fin tabla fin celda fin tabla cerrar llaves flecha doble derecha P e l espacio T. B o l z a n o espacio e x i s t e i x espacio u n espacio v a l o r espacio " c " espacio q u e espacio espacio c espacio pertenece espacio paréntesis izquierdo menos 0.8 coma menos 0.6 paréntesis derecho espacio t a l espacio q u e dos puntos espacio f paréntesis izquierdo c paréntesis derecho espacio igual espacio o fin estilo
Per tant x≈-0,7  o bé  x≈-0,6

Encara hauríem de provar en un interval [-0,8,-0.7]

estilo tamaño 12px espacio espacio espacio abrir tabla fila celda tabla fila celda tabla fila celda tabla fila celda tabla fila celda f paréntesis izquierdo x paréntesis derecho espacio é s espacio u n a espacio f u n c i ó espacio p o l i n ò m i c a espacio i espacio p e r espacio t a n t espacio é s espacio c o n t i n u a espacio e n espacio e l espacio i n t e r v a l espacio corchete izquierdo menos 0.8 coma espacio menos 0.7 corchete derecho fin celda fila celda f paréntesis izquierdo menos 0.8 paréntesis derecho espacio igual espacio paréntesis izquierdo menos 0.8 paréntesis derecho al cubo espacio más espacio paréntesis izquierdo menos 0.8 paréntesis derecho espacio más espacio 1 igual menos 0.312 menor que 0 fin celda fila celda f paréntesis izquierdo menos 0.7 paréntesis derecho espacio igual espacio paréntesis izquierdo menos 0.7 paréntesis derecho al cubo espacio más espacio paréntesis izquierdo menos 0.7 paréntesis derecho espacio más espacio 1 igual menos 0.043 menor que 0 fin celda fin tabla fin celda fin tabla fin celda fin tabla fin celda fin tabla fin celda fin tabla cerrar llaves flecha doble derecha E l espacio T. B o l z a n o espacio n o espacio f u n c i o n a fin estilo

Hauríem de provar en un interval [-0,7,-0.6]
estilo tamaño 12px espacio espacio espacio abrir tabla fila celda tabla fila celda tabla fila celda tabla fila celda tabla fila celda f paréntesis izquierdo x paréntesis derecho espacio é s espacio u n a espacio f u n c i ó espacio p o l i n ò m i c a espacio i espacio p e r espacio t a n t espacio é s espacio c o n t i n u a espacio e n espacio e l espacio i n t e r v a l espacio corchete izquierdo menos 0.7 coma espacio menos 0.6 corchete derecho fin celda fila celda f paréntesis izquierdo menos 0.7 paréntesis derecho espacio igual espacio paréntesis izquierdo menos 0.7 paréntesis derecho al cubo espacio más espacio paréntesis izquierdo menos 0.7 paréntesis derecho espacio más espacio 1 igual menos 0.043 menor que 0 fin celda fila celda f paréntesis izquierdo menos 0.6 paréntesis derecho espacio igual espacio paréntesis izquierdo menos 0.6 paréntesis derecho al cubo espacio más espacio paréntesis izquierdo menos 0.6 paréntesis derecho espacio más espacio 1 igual 0.184 mayor que 0 fin celda fin tabla fin celda fin tabla fin celda fin tabla fin celda fin tabla fin celda fin tabla cerrar llaves flecha doble derecha P e l espacio T. B o l z a n o espacio e x i s t e i x espacio u n espacio v a l o r espacio " c " espacio q u e espacio espacio c espacio pertenece espacio paréntesis izquierdo menos 0.7 coma menos 0.6 paréntesis derecho espacio t a l espacio q u e dos puntos espacio f paréntesis izquierdo c paréntesis derecho espacio igual espacio o fin estilo

Per tant   x≈-0,6

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