Anterior

Justifiqueu que la funció polinòmica f(x) = x3 + x + 1 té un zero comprés entre −1 y 0.

O sigui que aquesta equació x3 + x + 1=0 té una solució, el valor de la qual està entre -1 i 0

Aproximeu aquest valor a 1 decimal.


Resposta:


Buscar el zero d'una funció f(x) és equivalent a resoldre l'equació f(x)=0 i trobar la solució.

A vegades trobar una solució d'una equació és difícil, per això en ocasions es pot usar el T. de Bolzano, i  tractar de "cercar-la"

De l'enunciat es pot pensar que la solució està en  [-1,0], i per tant serà aproximadament : x= -1 o bé x≈-0,9  o bé  x≈-0,8   o bé    x≈-0,7 ....   o bé   x≈-0,1 o bé x=0

Apliquem el T. de Bolzano en l'interval [-1,0]

estil mida 12px espai espai espai obre taula fila cel·la taula fila cel·la taula fila cel·la taula fila cel·la taula fila cel·la f parèntesi esquerre x parèntesi dret espai é s espai u n a espai f u n c i ó espai p o l i n ò m i c a espai i espai p e r espai t a n t espai é s espai c o n t i n u a espai e n espai e l espai i n t e r v a l espai claudàtor esquerre menys 1 coma espai 0 claudàtor dret fi cel·la fila cel·la f parèntesi esquerre menys 1 parèntesi dret espai igual espai parèntesi esquerre menys 1 parèntesi dret al cub espai més espai parèntesi esquerre menys 1 parèntesi dret espai més espai 1 espai igual espai menys 1 espai menor que espai 0 fi cel·la fila cel·la f parèntesi esquerre 0 parèntesi dret espai igual espai 0 espai més espai 0 espai més espai 1 major que 0 fi cel·la fi taula fi cel·la fi taula fi cel·la fi taula fi cel·la fi taula fi cel·la fi taula tanca claus fletxa doble dreta P e l espai T. B o l z a n o espai e x i s t e i x espai u n espai v a l o r espai " c " espai q u e espai espai c espai pertany espai parèntesi esquerre menys 1 coma espai 0 parèntesi dret espai t a l espai q u e dos punts espai f parèntesi esquerre c parèntesi dret espai igual espai 0 fi estil

Per tant segur que hi ha (al menys) un valor que és solució de l'equació i que aquest valor és x≈-0,9  o bé  x≈-0,8   o bé    x≈-0,7 ....   o bé   x≈-0,1


Per afinar més i saber el primer decimal de la solució hem de fer el punt mig de l'interval  [−1, -0.5]

estil mida 12px espai espai espai obre taula fila cel·la taula fila cel·la taula fila cel·la taula fila cel·la taula fila cel·la f parèntesi esquerre x parèntesi dret espai é s espai u n a espai f u n c i ó espai p o l i n ò m i c a espai i espai p e r espai t a n t espai é s espai c o n t i n u a espai e n espai e l espai i n t e r v a l espai claudàtor esquerre menys 1 coma espai menys 0.5 claudàtor dret fi cel·la fila cel·la f parèntesi esquerre menys 1 parèntesi dret espai igual espai parèntesi esquerre menys 1 parèntesi dret al cub espai més espai parèntesi esquerre menys 1 parèntesi dret espai més espai 1 espai igual espai menys 1 espai menor que espai 0 fi cel·la fila cel·la f parèntesi esquerre menys 0.5 parèntesi dret espai igual espai parèntesi esquerre menys 0.5 parèntesi dret al cub espai més espai parèntesi esquerre menys 0.5 parèntesi dret espai més espai 1 igual 0.375 major que 0 fi cel·la fi taula fi cel·la fi taula fi cel·la fi taula fi cel·la fi taula fi cel·la fi taula tanca claus fletxa doble dreta P e l espai T. B o l z a n o espai e x i s t e i x espai u n espai v a l o r espai " c " espai q u e espai espai c espai pertany espai parèntesi esquerre menys 1 coma menys 0.5 parèntesi dret espai t a l espai q u e dos punts espai f parèntesi esquerre c parèntesi dret espai igual espai 0 fi estil



 Per tant x≈-0,9  o bé  x≈-0,8   o bé    x≈-0,7 ....   o bé   x≈-0,5


Seguim, tornem a dividir l'interval en dues parts i provarem en l'interval [−1, -0.8]. I si no funciona buscarem en l'interval [−0,8, -0.5]

estil mida 12px espai espai espai obre taula fila cel·la taula fila cel·la taula fila cel·la taula fila cel·la taula fila cel·la f parèntesi esquerre x parèntesi dret espai é s espai u n a espai f u n c i ó espai p o l i n ò m i c a espai i espai p e r espai t a n t espai é s espai c o n t i n u a espai e n espai e l espai i n t e r v a l espai claudàtor esquerre menys 1 coma espai menys 0.8 claudàtor dret fi cel·la fila cel·la f parèntesi esquerre menys 1 parèntesi dret espai igual espai parèntesi esquerre menys 1 parèntesi dret al cub espai més espai parèntesi esquerre menys 1 parèntesi dret espai més espai 1 espai igual espai menys 1 espai menor que espai 0 fi cel·la fila cel·la f parèntesi esquerre menys 0.8 parèntesi dret espai igual espai parèntesi esquerre menys 0.8 parèntesi dret al cub espai més espai parèntesi esquerre menys 0.8 parèntesi dret espai més espai 1 igual menys 0.312 menor que 0 fi cel·la fi taula fi cel·la fi taula fi cel·la fi taula fi cel·la fi taula fi cel·la fi taula tanca claus fletxa doble dreta N o espai p o d e m espai a p l i c a r espai e l espai T. espai d e espai B o l z a n o fi estil



Provem en [-0,8,-0.5]
estil mida 12px espai espai espai obre taula fila cel·la taula fila cel·la taula fila cel·la taula fila cel·la taula fila cel·la f parèntesi esquerre x parèntesi dret espai é s espai u n a espai f u n c i ó espai p o l i n ò m i c a espai i espai p e r espai t a n t espai é s espai c o n t i n u a espai e n espai e l espai i n t e r v a l espai claudàtor esquerre menys 0.8 coma espai menys 0.5 claudàtor dret fi cel·la fila cel·la f parèntesi esquerre menys 0.8 parèntesi dret espai igual espai parèntesi esquerre menys 0.8 parèntesi dret al cub espai més espai parèntesi esquerre menys 0.8 parèntesi dret espai més espai 1 igual menys 0.312 menor que 0 fi cel·la fila cel·la f parèntesi esquerre menys 0.5 parèntesi dret espai igual espai parèntesi esquerre menys 0.5 parèntesi dret al cub espai més espai parèntesi esquerre menys 0.5 parèntesi dret espai més espai 1 igual 0.375 major que 0 fi cel·la fi taula fi cel·la fi taula fi cel·la fi taula fi cel·la fi taula fi cel·la fi taula tanca claus fletxa doble dreta P e l espai T. B o l z a n o espai e x i s t e i x espai u n espai v a l o r espai " c " espai q u e espai espai c espai pertany espai parèntesi esquerre menys 0.8 coma menys 0.5 parèntesi dret espai t a l espai q u e dos punts espai f parèntesi esquerre c parèntesi dret espai igual espai o fi estil
Per tant x≈-0,7  o bé  x≈-0,6   o bé   x≈-0,5


Provem en [-0,8,-0.6]
estil mida 12px espai espai espai obre taula fila cel·la taula fila cel·la taula fila cel·la taula fila cel·la taula fila cel·la f parèntesi esquerre x parèntesi dret espai é s espai u n a espai f u n c i ó espai p o l i n ò m i c a espai i espai p e r espai t a n t espai é s espai c o n t i n u a espai e n espai e l espai i n t e r v a l espai claudàtor esquerre menys 0.8 coma espai menys 0.6 claudàtor dret fi cel·la fila cel·la f parèntesi esquerre menys 0.8 parèntesi dret espai igual espai parèntesi esquerre menys 0.8 parèntesi dret al cub espai més espai parèntesi esquerre menys 0.8 parèntesi dret espai més espai 1 igual menys 0.312 menor que 0 fi cel·la fila cel·la f parèntesi esquerre menys 0.6 parèntesi dret espai igual espai parèntesi esquerre menys 0.6 parèntesi dret al cub espai més espai parèntesi esquerre menys 0.6 parèntesi dret espai més espai 1 igual 0.184 major que 0 fi cel·la fi taula fi cel·la fi taula fi cel·la fi taula fi cel·la fi taula fi cel·la fi taula tanca claus fletxa doble dreta P e l espai T. B o l z a n o espai e x i s t e i x espai u n espai v a l o r espai " c " espai q u e espai espai c espai pertany espai parèntesi esquerre menys 0.8 coma menys 0.6 parèntesi dret espai t a l espai q u e dos punts espai f parèntesi esquerre c parèntesi dret espai igual espai o fi estil
Per tant x≈-0,7  o bé  x≈-0,6

Encara hauríem de provar en un interval [-0,8,-0.7]

estil mida 12px espai espai espai obre taula fila cel·la taula fila cel·la taula fila cel·la taula fila cel·la taula fila cel·la f parèntesi esquerre x parèntesi dret espai é s espai u n a espai f u n c i ó espai p o l i n ò m i c a espai i espai p e r espai t a n t espai é s espai c o n t i n u a espai e n espai e l espai i n t e r v a l espai claudàtor esquerre menys 0.8 coma espai menys 0.7 claudàtor dret fi cel·la fila cel·la f parèntesi esquerre menys 0.8 parèntesi dret espai igual espai parèntesi esquerre menys 0.8 parèntesi dret al cub espai més espai parèntesi esquerre menys 0.8 parèntesi dret espai més espai 1 igual menys 0.312 menor que 0 fi cel·la fila cel·la f parèntesi esquerre menys 0.7 parèntesi dret espai igual espai parèntesi esquerre menys 0.7 parèntesi dret al cub espai més espai parèntesi esquerre menys 0.7 parèntesi dret espai més espai 1 igual menys 0.043 menor que 0 fi cel·la fi taula fi cel·la fi taula fi cel·la fi taula fi cel·la fi taula fi cel·la fi taula tanca claus fletxa doble dreta E l espai T. B o l z a n o espai n o espai f u n c i o n a fi estil

Hauríem de provar en un interval [-0,7,-0.6]
estil mida 12px espai espai espai obre taula fila cel·la taula fila cel·la taula fila cel·la taula fila cel·la taula fila cel·la f parèntesi esquerre x parèntesi dret espai é s espai u n a espai f u n c i ó espai p o l i n ò m i c a espai i espai p e r espai t a n t espai é s espai c o n t i n u a espai e n espai e l espai i n t e r v a l espai claudàtor esquerre menys 0.7 coma espai menys 0.6 claudàtor dret fi cel·la fila cel·la f parèntesi esquerre menys 0.7 parèntesi dret espai igual espai parèntesi esquerre menys 0.7 parèntesi dret al cub espai més espai parèntesi esquerre menys 0.7 parèntesi dret espai més espai 1 igual menys 0.043 menor que 0 fi cel·la fila cel·la f parèntesi esquerre menys 0.6 parèntesi dret espai igual espai parèntesi esquerre menys 0.6 parèntesi dret al cub espai més espai parèntesi esquerre menys 0.6 parèntesi dret espai més espai 1 igual 0.184 major que 0 fi cel·la fi taula fi cel·la fi taula fi cel·la fi taula fi cel·la fi taula fi cel·la fi taula tanca claus fletxa doble dreta P e l espai T. B o l z a n o espai e x i s t e i x espai u n espai v a l o r espai " c " espai q u e espai espai c espai pertany espai parèntesi esquerre menys 0.7 coma menys 0.6 parèntesi dret espai t a l espai q u e dos punts espai f parèntesi esquerre c parèntesi dret espai igual espai o fi estil

Per tant   x≈-0,6

Anterior