Resum conceptes bàsics del lliurament 2

Perquè no puc aplicar Bolzano si la funció no és contínua en l'interval tancat?

El teorema de Bolzano diu que si una funció f (x) és contínua en un interval tancat [a,b] i en els extrems d'aquests pren valors de diferent signe   , aleshores hi ha almenys un valor  tal que 

Dit de forma més planera, si una funció contínua, té una part de la seva gràfica per sota de l'eix horitzontal i una part per sobre, vol dir que en algun punt talla a l'eix, i per tant hi ha algun punt de la funció tindrà y=0, o sigui hi haurà un zero de la funció.

Exemple 1:

Ara considerem la  funció f(x) que té per gràfica 

Veiem que  però en canvi no existeix cap arrel en l'interval (-2,0).

Això és degut a que la funció no és contínua en [-2,0] doncs en x = -1 presenta una discontinuïtat de salt.

Per tant al no complir-se una de les condicions o hipòtesis del teorema no podem garantir que existeixi un zero de la funció entre -2 i 0

Exemple 2:

Ara considerem la  funció f(x) que té per gràfica 

Veiem que    però en canvi no existeix cap arrel en l'interval (1,3).

Això és degut a que la funció no és contínua en [1,3] doncs en x = 1 presenta una discontinuïtat de salt.

Per tant al no complir-se una de les condicions o hipòtesis del teorema no podem garantir que existeixi un zero de la funció entre 1 i 3

Però observeu en la mateixa funció anterior que si fem l'estudi en l'interval [-2,1]. Veiem que:

f(-2)=2 => positiva.  O sigui la funció en x=-2 està per sobre de l'eix X (del nivell horitzontal)

f(1)=-1=> negativa.  O sigui la funció en x=1 està per sota de l'eix X (del nivell horitzontal)

Per tant f(-2) · f(1) <0

La funció és contínua en l'interval [-2,1]

Podem concloure (pel Teorema de Bolzano) que en algun punt de l'interval [-2,1] es complirà f(c)=0. I si veiem el dibuix és cert que en f(0)=0