Resum conceptes bàsics del lliurament 2: Exemple. Estudi continuïtat funció definida a trossos

Donada la funció f(x) definida a trossos: $f parèntesi esquerre x parèntesi dret espai igual espai obre claus taula atributs alineació columna left fin atributs fila cel·la 4 dividit per x espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai s i espai espai espai espai espai espai x menor o igual que 2 fi cel·la fila cel·la 2 x al quadrat espai més negreta espai bold italic a espai espai espai espai espai espai espai s i espai espai espai espai x major que 2 fi cel·la fi taula tanca$ , trobeu: a) El domini de la funció. b) El valor d' a per tal que la funció sigui contínua en x= 2. c) Els punts on és discontínua la funció f (x) i classifiqueu les discontinuïtats. Si obriu el programa geogebra en línia que teniu disponible a l'aula podeu representar aquesta funció i comprovar els resultats que heu obtingut. Per introduir la fórmula de la funció en el geogebra cal escriure en la línia d'entrada la funció en aquest format Funció[4/x,-∞,2] i doneu a la tecla "intro". Us sortirà la primera part de la funció Ara introduïu en la línia d'entrada Funció[2x^2+a,1,∞] i doneu a la tecla "intro". I us sortirà la segona part de la funció. Però cal posar el valor concret de "a" que heu trobat al resoldre l'apartat b). Aquest apartat no és imprescindible, però us ajudarà a interpretar els límits. </td> </tr> </tbody> </table> Aquesta és una funció definida a trossos. a) Domini de la funció f (x) Hi ha algun punt on no es pugui calcular la seva imatge? La funció està formada per dues parts. Caldrà estudiar cada una de les funció i també què passa en el punt de transició d'una funció a l'altra. <table class="generaltable" id="yui_3_17_2_1_1527787602083_2784" style="width: 90%;"> <caption></caption> <thead id="yui_3_17_2_1_1527787602083_3057"> <tr style="background-color:#EEEEEE" id="yui_3_17_2_1_1527787602083_2871"> <th scope="col" id="yui_3_17_2_1_1527787602083_2879">Part I</th> <th scope="col" id="yui_3_17_2_1_1527787602083_2883">Part II</th> <th scope="col">Punt de transició entre la part I i la II</th> </tr> </thead> <tbody id="yui_3_17_2_1_1527787602083_2783"> <tr id="yui_3_17_2_1_1527787602083_2866"> <td id="yui_3_17_2_1_1527787602083_2880"> $h parèntesi esquerre x parèntesi dret espai igual fracció 4 entre x$ </td> <td id="yui_3_17_2_1_1527787602083_2884"> $g parèntesi esquerre x parèntesi dret igual 2 x al quadrat més a$ </td> <td>x=2</td> </tr> <tr id="yui_3_17_2_1_1527787602083_2782"> <td id="yui_3_17_2_1_1527787602083_2881"> En la funció h(x) no que es pot calcular la imatge de x=0. Per trobar les "x" que no pertanyen al domini, s'ha d'igualar a zero l denominador $fletxa doble dreta$ x=0 I s'obté que el punt que no és del domini és x1=0. </td> <td id="yui_3_17_2_1_1527787602083_2832">g(x) és una funció polinòmica de 2n grau. És una paràbola. No cal fer res. El domini són tots els reals.</td><td id="yui_3_17_2_1_1527787602083_2781">Per obtenir la imatge de x=2, hem triat la primera funció, ja que: La funció $h parèntesi esquerre x parèntesi dret espai igual espai fracció 4 entre x$ correspon a l'interval x≤2 (inclou x=2) La funció $g parèntesi esquerre x parèntesi dret espai igual 2 x al quadrat més a$ correspon a l'interval dels valors x>2 (no inclou x=2) </td> </tr> <tr id="yui_3_17_2_1_1527787602083_2875"> <td id="yui_3_17_2_1_1527787602083_2882"> Dom(h) = tots els reals menys el zero = R - {0}

Domg(x)=Reals

x=2 és del domini

Per tant Dom f(x) = Reals - {0}

Els dos valors x₁= 0 ix₂ =2 obtinguts en aquest apartat, són els valors on caldrà estudiar els límits i on es comprovarà que hi ha discontinuïtat.

b) Continuïtat de la funció

Recordeu que una funció f(x) és contínua en $x=a$ , i a és del domini de f(x) i $\small {\lim }\limits_{x \to a^-} = {\lim }\limits_{x \to a^+}= f(a)$

Totes les funcions presenten discontinuïtats per totes aquelles $x$ que no pertanyen al domini ( les funcions definides a trossos també poden presentar discontinuïtats als punts de separació entre els trossos).

- - - Càlcul de límits laterals en x₁=0 punt que no és del domini

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^ - (x$	-∞
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^+ (x>0)} \frac{{4}}{{x}} = \frac{{4}}{{0^+}} =$	+∞

La imatge en aquest punt no existeix, donat que no és un punt del domini

En x₁=0 el límits laterals obtinguts han donat infinit, per tant la funció $f(x)$ presenta una discontinuïtat asimptòtica.

- - - Càlcul de límits laterals i la imatge en x₂=2 punt de transició

$\mathop {\lim} \limits_{x \to 2^- (x$	Per calcular aquest límit cal substituir el valor $x_2$ en la funció
$\mathop {\lim} \limits_{x \to 2^+ (x>2)}{2x^2+a}=8+a$	Per calcular aquest límit cal substituir el valor $x_2$ en la funció
Imatge f(2)=4/2 = 2	Per calcular la imatge del punt, cal substituir el valor $x_2$ en la funció

Aquests tres valors haurien de coincidir per ta que la funció sigui contínua.

Hem de trobar el valor de "a" per tal que els tres valors siguin iguals: 2= 8+a → a = - 6

c) Punts de discontinuïtat

Ho hem esbrinat en l'apartat anterior

$x_1=0$ el límits laterals obtinguts han donat infinit, per tant la funció

$f(x)$ presenta una discontinuïtat asimptòtica

La funció

$f(x)$ és contínua en

$x_2=2$ si a= -6

Propietat intel·lectual i drets d'autoria