Resum conceptes bàsics del lliurament 2: Exemple. Continuïtat funció definida a trossos

Donada la funció

$f (x) = \{\begin{cases} - 3 x + 1 s i x < 1 \\ x^{2} + a s i x \geq 1 \end{cases}$

a) Calculeu el domini de la funció $f (x)$

b) Calculeu el valor d' a per tal que la funció sigui contínua en x = 1

c) Calculeu $\lim_{x \to + \infty} f (x)$ prenent com a valor de "a" el que has obtingut en l'apartat anterior.

d) Calculeu $\lim_{x \to - \infty} f (x)$ prenent com a valor de "a" el que has obtingut en l'apartat anterior.

e) Calculeu les imatges de x=-1 , de x=1 i de x=3 i preneu el valor de "a" el que has obtingut en l'apartat b)

f) Feu la gràfica de la funció

Resposta :

a) Domini de la funció f(x).

Cal estudiar cada una de les dues parts de la funció per separat i també els punts de transició d'una funció a l'altra.


Part I	Part II	Punt de transició entre la part I i la II
$g (x) = - 3 x + 1$	$p (x) = x ² + a$	En el punt x=1 hi ha imatge. $f (1) = 1^{2} + a = a + 1$
g(x) és funció polinòmica de 1r grau. És, per tant, una recta. És contínua.	p(x) és una funció polinòmica de 2n grau. És una paràbola. És contínua.
Dom g(x) = Reals	Dom p(x) = Reals	x =1 és del domini

Per tant Dom f(x) = Reals

b) Estudia la continuïtat de la funció en x= 1 i en cas que la funció sigui discontínua, digues de quin tipus.

Recordeu que una funció és contínua en un punt x₀ si es compleix :_{$\lim_{x \to {x_{0}}^{+}} f (x) = \lim_{x \to {x_{0}}^{-}} f (x) = f (x_{0})$}

Estudiarem el comportament de la funció en x=1

$\lim_{x \to 1^{-}} f (x) = \lim_{x \to 1^{-}} (- 3 x + 1) = - 3 (1) + 1 = - 2$	A l'esquerra de 1 li correspon la funció de la part I
$\lim_{x \to 1^{+}} f (x) = \lim_{x \to 1^{+}} (x ² + a) = (1 ²) + a = 1 + a$	A a dreta de 1 li correspon la funció de la part II
$f (1) = 1 + a$	Tal i com està definida la funció, la imatge de x=1 es busca en la funció de la part II

Per tal que els tres valors coincideixen, cal que 1+a =-2 → a= -3

Per tant la funció serà contínua per a=-3 i discontínua si a≠-3

$\lim_{x \to + \infty} f (x) = \lim_{x \to + \infty} (x ² + a) = + \infty$

$\lim_{x \to - \infty} f (x) = \lim_{x \to - \infty} (- 3 x + 1) = + \infty$

e) Calculeu les imatges de x=-1 de x=1 i de x=3 i "a" pren el valor obtingut en l'apartat b