Resum conceptes bàsics del Lliurament 1

Com calculo el límit d'una funció en el infinit?

Per calcular el que hem de fer  és substituir, en l'expressió de la funció, la x per un valor molt gran  o molt petit segons sigui el cas, i tenir present les operacions amb $\infty$ . 

Aquí teniu alguns exemples:

Funció polinòmica p(x)

$\small {\lim} \limits_{x \to \infty} {p(x)}=\infty$

En tot cas cal saber el signe dels infinits.

Exemple: $p(x) =-x^3-x+1$

Volem calcular els límits:

$\small {\lim} \limits_{x \to + \infty} {p(x)}$ i $\small {\lim} \limits_{x \to - \infty} {p(x)}$

Per calcular aquest límits convindria fer una taula per saber la tendència de la funció:

Primer posem valors de "x" que van creixent cap a l'infinit, i estudiem què passa amb les seves imatges, i observem que obtenim valors molt petits , ja que són negatius.

De fet en un polinomi el límit quan x tendeix a infinit el determina el terme de grau més alt. En aquest exemple el terme important i que és necessari per calcular el límit és -x³

Funció racional

Les funcions racionals són les formades per la divisió de dos polinomis $f(x)= \frac{P(x)}{Q(x)}$

on P(x) és un polinomi axⁿ +bx^n-1+.....

on Q(x) és un altre polinomi cx^m +dx^m-1+.....

$\small {\lim} \limits_{x \to \infty} {f(x)}={\lim} \limits_{x \to \infty} \frac{P(x)}{Q(x)}$

Per calcular aquests límit només ens fixarem en el terme de grau més alt de cada polinomi i aquests termes ens donaran el límit. És a dir ens fixarem en

axⁿ del polinomi P(x) i en cx^m del polinomi Q(x)

Regla del grau:

• • • • Si el grau de P(x) és més gran que grau de Q(x) el $\small {\lim} \limits_{x \to \infty} {f(x)}={\lim} \limits_{x \to \infty} \frac{P(x)}{Q(x)}=\infty$
      • Si el grau de P(x) és més petit que grau de Q(x) el $\small {\lim} \limits_{x \to \infty} {f(x)}={\lim} \limits_{x \to \infty} \frac{P(x)}{Q(x)}=0$
      • Si el graus són iguals cal dividir els coeficients de grau més alt, entre sí $\small {\lim} \limits_{x \to \infty} {f(x)}={\lim} \limits_{x \to \infty} \frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{a}{c}$

Exemple

$f(x)= \frac {-x^3-x+1}{20x^3-500}$

Calculem

$\small {\lim} \limits_{x \to \infty}{f(x)}={\lim} \limits_{x \to \infty} \frac{P(x)}{Q(x)}={\lim} \limits_{x \to \infty} \frac {-x^3-x+1}{20x^3-500}=\frac{-1}{20}$

ja que els graus dels dos polinomis que formen la funció f(x) són iguals

Exemple

$f(x)= \frac {-x^3-x+1}{20x^2-500}$

Calculem

$\small {\lim} \limits_{x \to \infty}{f(x)}={\lim} \limits_{x \to \infty} \frac{P(x)}{Q(x)}={\lim} \limits_{x \to \infty} \frac {-x^3-x+1}{20x^2-500}=\infty$ ja que grau numerador és més gran que el del denominador

Exemple

$f(x)= \frac {-x^2-x+1}{20x^3-500}$

Calculem

$\small {\lim} \limits_{x \to \infty}{f(x)}={\lim} \limits_{x \to \infty} \frac{P(x)}{Q(x)}={\lim} \limits_{x \to \infty} \frac {-x^2-x+1}{20x^3-500}=0$ ja que grau numerador és més petit que el del denominador