Següent

LÍMITS. Concepte

Idea de límit d'una funció en un punt 

  J.Villanova

Els programes d'ordinador dibuixen la gràfica d'una funció fent lliscar un punt sobre la pantalla, tal i com es faria amb llapis i paper. Aquest programes calculen les imatges de molts punts, construeixin la taula de valors i els representen en uns eixos de coordenades però ho fa molt ràpidament.

Quan es vol fer la gràfica a mà, és impossible calcular tantes imatges de punts de la taula i tant ràpidament. Per això convé saber cap a on va la gràfica de la funció sense haver de calcular molt.


Per entendre el concepte de límit de funció en un punt, imaginarem que en la gràfica anterior es representa en l'eix X el temps en anys. I l'eix Y són els beneficis d'una empresa ( en milions d'euros). Suposarem que l'any "0" correspon a una nova etapa de l'empresa, en la que s'han efectuat canvis estructurals importants. I que l' any -1, i -2 són anys anteriors a aquesta nova etapa.

Observant la gràfica de la funció que representa aquesta situació, calcularem el valor numèric de cada límit, si existeix.

Exemple: pila l i m espai f parèntesi esquerre x parèntesi dret amb x fletxa dreta 0 a sota         

Per calcular aquest valor, imaginem que el temps està proper a 0 (x=0), i observem què fa la gràfica, la línia blava.

Quan pila l i m espai f parèntesi esquerre x parèntesi dret amb x fletxa dreta 0 a sotala línia blava "va cap a"  y=3.

Per tant en el moment que l'empresa es va remodelar (any 0) els beneficis de l'empresa estaven al voltant dels 3 milions d'euros

Matemàticament escriurem: pila l i m espai f parèntesi esquerre x parèntesi dret amb x fletxa dreta 0 a sota=3

Amb aquesta idea, calculem els límits següents:

pila l i m espai f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual 4 amb x fletxa dreta 1 elevat a menys a sota

1- vol dir "esquerra de x=1"
pila l i m espai f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual 2 amb x fletxa dreta 4 elevat a menys a sota

4- vol dir "esquerra de x=4"
pila l i m espai f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual no existeix amb x fletxa dreta 5 elevat a menys a sota

és a dir no existeix
pila l i m espai f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual 7 amb x fletxa dreta 1 elevat a més a sota

1+ vol dir "dreta de x=1"
pila l i m espai f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual no existeix amb x fletxa dreta 4 elevat a més a sota

4+ vol dir "dreta de x=4"		 pila l i m espai f parèntesi esquerre x parèntesi dret igual 1 amb x fletxa dreta 5 elevat a més a sota

5+ vol dir "dreta de x=5"
f(1)=5
Imatge de x=1
 f(4)=0
Imatge de x=4
f(5)=no existeix
imatge de x=5

En aquest vídeo se us dona una idea sobre com calcular límits de funcions a partir de la seva gràfica



Idea de límit d'una funció en l'infinit

Per entendre el concepte de límit de funció en l'infinit, observeu la següent gràfica.

La idea intuïtiva de límit de la funció en + \infty i en - \infty és veure cap a on van els extremes de la funció.

Si la funció representés els beneficis econòmics d'una empresa al llarg del temps, i fos necessari saber quina és la tendència o l'evolució de l'economia de l'empresa, caldria estudiar el límit.

Com és d'esperar que siguin els beneficis econòmics a la llarga?


La resposta la trobem en la mateixa gràfica. Si va passant els temps (x=1,2,3,4,....+ \infty ) cap a o van els beneficis?

Per donar resposta, basta veure la gràfica. Cap a on fa la gràfica?

Veiem que la tendència de la línia lila és cap a y=1. Per tant matemàticament escriurem : pila l i m amb x fletxa dreta més infinit a sota f parèntesi esquerre x parèntesi dret espai igual espai 1.

Per tant la tendència de l'empresa és que els beneficis estiguin (a la llarga) al voltant d'1


Amb aquesta idea, podem calcular el límit: pila l i m amb x fletxa dreta menys infinit a sota f parèntesi esquerre x parèntesi dret espai igual espai 1



Següent