Resum conceptes bàsics del Lliurament 1

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Kurs:	Matemàtiques II (Bloc 2) ~ gener 2020
Buch:	Resum conceptes bàsics del Lliurament 1

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Datum:	Sonntag, 19. Mai 2024, 18:08

Beschreibung

Inhaltsverzeichnis

LÍMITS. Concepte
ASÍMPTOTES. Concepte

LÍMITS. Concepte

Idea de límit d'una funció en un punt

  J.Villanova

Els programes d'ordinador dibuixen la gràfica d'una funció fent lliscar un punt sobre la pantalla, tal i com es faria amb llapis i paper. Aquest programes calculen les imatges de molts punts, construeixin la taula de valors i els representen en uns eixos de coordenades però ho fa molt ràpidament.

Quan es vol fer la gràfica a mà, és impossible calcular tantes imatges de punts de la taula i tant ràpidament. Per això convé saber cap a on va la gràfica de la funció sense haver de calcular molt.

Per entendre el concepte de límit de funció en un punt, imaginarem que en la gràfica anterior es representa en l'eix X el temps en anys. I l'eix Y són els beneficis d'una empresa ( en milions d'euros). Suposarem que l'any "0" correspon a una nova etapa de l'empresa, en la que s'han efectuat canvis estructurals importants. I que l' any -1, i -2 són anys anteriors a aquesta nova etapa.

Observant la gràfica de la funció que representa aquesta situació, calcularem el valor numèric de cada límit, si existeix.

Exemple: $Stapel l i m Leerzeichen f linke klammer x rechte klammer mit x rechtspfeil 0 darunter$

Per calcular aquest valor, imaginem que el temps està proper a 0 (x=0), i observem què fa la gràfica, la línia blava.

Quan $Stapel l i m Leerzeichen f linke klammer x rechte klammer mit x rechtspfeil 0 darunter$ la línia blava "va cap a" y=3.

Per tant en el moment que l'empresa es va remodelar (any 0) els beneficis de l'empresa estaven al voltant dels 3 milions d'euros

Matemàticament escriurem: $Stapel l i m Leerzeichen f linke klammer x rechte klammer mit x rechtspfeil 0 darunter$ =3

Amb aquesta idea, calculem els límits següents:

$Stapel l i m Leerzeichen f linke klammer x rechte klammer gleich 4 mit x rechtspfeil 1 hoch minus darunter$ 1^- vol dir "esquerra de x=1"	$Stapel l i m Leerzeichen f linke klammer x rechte klammer gleich 2 mit x rechtspfeil 4 hoch minus darunter$ 4^- vol dir "esquerra de x=4"	$Stapel l i m Leerzeichen f linke klammer x rechte klammer gleich existiert nicht mit x rechtspfeil 5 hoch minus darunter$ és a dir no existeix
$Stapel l i m Leerzeichen f linke klammer x rechte klammer gleich 7 mit x rechtspfeil 1 hoch plus darunter$ 1⁺ vol dir "dreta de x=1"	$Stapel l i m Leerzeichen f linke klammer x rechte klammer gleich existiert nicht mit x rechtspfeil 4 hoch plus darunter$ 4⁺ vol dir "dreta de x=4"	$Stapel l i m Leerzeichen f linke klammer x rechte klammer gleich 1 mit x rechtspfeil 5 hoch plus darunter$ 5⁺ vol dir "dreta de x=5"
f(1)=5 Imatge de x=1	f(4)=0 Imatge de x=4	f(5)=no existeix imatge de x=5

En aquest vídeo se us dona una idea sobre com calcular límits de funcions a partir de la seva gràfica

Idea de límit d'una funció en l'infinit

Per entendre el concepte de límit de funció en l'infinit, observeu la següent gràfica.

La idea intuïtiva de límit de la funció en + $\infty$ i en - $\infty$ és veure cap a on van els extremes de la funció.

Si la funció representés els beneficis econòmics d'una empresa al llarg del temps, i fos necessari saber quina és la tendència o l'evolució de l'economia de l'empresa, caldria estudiar el límit.

Com és d'esperar que siguin els beneficis econòmics a la llarga?

La resposta la trobem en la mateixa gràfica. Si va passant els temps (x=1,2,3,4,....+ $\infty$ ) cap a o van els beneficis?

Per donar resposta, basta veure la gràfica. Cap a on fa la gràfica?

Veiem que la tendència de la línia lila és cap a y=1. Per tant matemàticament escriurem : $Stapel l i m mit x rechtspfeil plus unendlichkeitszeichen darunter f linke klammer x rechte klammer Leerzeichen gleich Leerzeichen 1$ .

Per tant la tendència de l'empresa és que els beneficis estiguin (a la llarga) al voltant d'1

Amb aquesta idea, podem calcular el límit:

Stapel l i m mit x rechtspfeil minus unendlichkeitszeichen darunter f linke klammer x rechte klammer Leerzeichen gleich Leerzeichen 1

És el mateix límit que imatge?

No, no és el mateix.

Majoritàriament el límit coincideix amb la imatge però no sempre.

Exemple 1:

Observa la funció $f linke klammer x rechte klammer gleich Zähler x minus 1 geteilt durch Nenner x im Quadrat minus 1 Bruchergebnis$

Si de bon començament intentem trobar la imatge per x=1 veiem que no existeix ja que no es pot dividir per zero.

$f linke klammer 1 rechte klammer gleich Zähler 1 minus 1 geteilt durch Nenner 1 im Quadrat minus 1 Bruchergebnis gleich 0 geteilt durch 0 Leerzeichen q u e Leerzeichen n o Leerzeichen e x i s t e i x Leerzeichen rechtspfeil x gleich 1 Leerzeichen n o Leerzeichen é s Leerzeichen d e l Leerzeichen d o m i n i Leerzeichen d e Leerzeichen l a Leerzeichen f u n c i ó$

Però en canvi si que existeix f(0'9), f(0'99), f(0'999)... i també f(1'1), f(1'01), f(1'001)...imatges pels valors de x propers a x=1

Aleshores la idea de límit és el nombre al que s'acosten les imatges quan x s'acosta al nombre on fem el límit

f(0'9)= 0'526315

f(0'99)= 0'502512

f(0'999)= 0'50025

f(0'9999)= 0'500025

$öffnen Tabellenattribute Spaltenausrichtung right Ende Attribute Zeile Zelle öffnen Tabellenattribute Spaltenausrichtung right Ende Attribute Zeile Zelle f linke klammer 0 apostroph 9 rechte klammer gleich Leerzeichen 0 apostroph 526315 Leerzeichen Leerzeichen f linke klammer 0 apostroph 99 rechte klammer gleich Leerzeichen 0 apostroph 502512 Leerzeichen Leerzeichen f linke klammer 0 apostroph 999 rechte klammer gleich Leerzeichen 0 apostroph 50025 Leerzeichen Leerzeichen f linke klammer 0 apostroph 9999 rechte klammer gleich Leerzeichen 0 apostroph 500025 Ende Zelle Zeile Zelle... Ende Zelle Ende Tabelle geschweifte Klammern schließen rechtspfeil Limes als x rechtspfeil 1 hoch plus von f linke klammer x rechte klammer gleich 0 apostroph 5 öffnen Tabellenattribute Spaltenausrichtung right Ende Attribute Zeile Zelle f linke klammer 1 apostroph 1 rechte klammer gleich Leerzeichen 0 apostroph 476149 Leerzeichen Leerzeichen f linke klammer 1 apostroph 01 rechte klammer gleich Leerzeichen 0 apostroph 497512 Leerzeichen Leerzeichen f linke klammer 1 apostroph 001 rechte klammer gleich Leerzeichen 0 apostroph 49975 Leerzeichen Leerzeichen f linke klammer 1 apostroph 0001 rechte klammer gleich Leerzeichen 0 apostroph 499975 Ende Zelle Zeile Zelle... Ende Zelle Ende Tabelle geschweifte Klammern schließen rechtspfeil Limes als x rechtspfeil 1 hoch minus von f linke klammer x rechte klammer gleich 0 apostroph 5 Ende Zelle Zeile blank Ende Tabelle geschweifte Klammern schließen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen dicker rechtspfeil Limes als x rechtspfeil 1 von Zähler x minus 1 geteilt durch Nenner x im Quadrat minus 1 Bruchergebnis gleich 0 apostroph 5$

Exemple 2:

Sigui la funció

$f linke klammer x rechte klammer gleich geschweifte Klammern öffnen Tabellenattribute Spaltenausrichtung left Ende Attribute Zeile Zelle 3 x minus 7 Leerzeichen Leerzeichen s i Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen x kleiner als 2 Ende Zelle Zeile Zelle x plus 3 Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen s i Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen x größer oder gleich 2 Ende Zelle Ende Tabelle schließen E n Leerzeichen a q u e s t Leerzeichen c a s Leerzeichen t e n i m Leerzeichen f linke klammer 2 rechte klammer gleich 2 plus 3 gleich 5 P e r ò Leerzeichen e l Leerzeichen l í m i t Leerzeichen e n Leerzeichen x gleich 2 Leerzeichen n o Leerzeichen e x i s t e i x Leerzeichen j a Leerzeichen q u e Leerzeichen e l s Leerzeichen l í m i t s Leerzeichen l a t e r a l s Leerzeichen s ó n Leerzeichen d i f e r e n t s Doppelpunkt öffnen Tabellenattribute Spaltenausrichtung right Ende Attribute Zeile Zelle Limes als x rechtspfeil 2 hoch minus von f linke klammer x rechte klammer gleich Limes als x rechtspfeil 2 hoch minus von 3 x minus 7 gleich 6 minus 7 gleich minus 1 Ende Zelle Zeile Zelle Limes als x rechtspfeil 2 hoch plus von f linke klammer x rechte klammer gleich Limes als x rechtspfeil 2 hoch plus von x plus 3 gleich 2 plus 3 gleich 5 Ende Zelle Ende Tabelle geschweifte Klammern schließen rechtspfeil Limes als x rechtspfeil 2 von f linke klammer x rechte klammer Leerzeichen n o Leerzeichen e x i s t e i x$

Exemple 3: Donada la funció f(x)=3x-4 en aquest cas el límit coincideix amb la imatge per a qualsevol valor de la x

Exemple 4: Sigui la funció

$f linke klammer x rechte klammer gleich geschweifte Klammern öffnen Tabellenattribute Spaltenausrichtung left Ende Attribute Zeile Zelle 3 x minus 1 Leerzeichen Leerzeichen s i Leerzeichen x kleiner als 2 Ende Zelle Zeile Zelle x plus 3 Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen s i Leerzeichen x größer oder gleich 2 Ende Zelle Ende Tabelle schließen E n Leerzeichen a q u e s t Leerzeichen c a s Leerzeichen t e n i m Leerzeichen f linke klammer 2 rechte klammer gleich 2 plus 3 gleich 5 Limes als x rechtspfeil 2 hoch plus von f linke klammer x rechte klammer gleich Limes als x rechtspfeil 2 hoch plus von x plus 3 gleich 2 plus 3 gleich 5 Limes als x rechtspfeil 2 hoch minus von f linke klammer x rechte klammer gleich Limes als x rechtspfeil 2 hoch minus von f 3 x minus 1 gleich 3 mal 2 minus 1 gleich 5 P e r Leerzeichen tan t Leerzeichen Limes als x rechtspfeil 2 von f linke klammer x rechte klammer Leerzeichen gleich Leerzeichen 5 Leerzeichen i Leerzeichen c o i n c i d e i x Leerzeichen a m b Leerzeichen f linke klammer 2 rechte klammer$

Càlcul del límit d'una funció en un punt

Com calculo el límit d'una funció en un punt?

Per calcular $Stapel lim Leerzeichen Leerzeichen mit x rechtspfeil a darunter f linke klammer x rechte klammer$ el que hem de fer en primer lloc és substituir, en l'expressió de la funció, la x per a i fer els càlculs. Amb això ens podem trobar amb tres casos :

Que el resultat doni un nombre i per tant aquest serà el valor del límit
Que ens doni l'expressió $0 geteilt durch 0$ . Això és el que en diem una indeterminació i no ens dóna informació sobre el valor del límit. Però sí ens dóna informació del que hem de fer per trobar el límit. Per saber el que hem de fer anirem a l'apartat "Resolució indeterminació 0/0 "

Que ens doni una expressió de $k geteilt durch 0 gleich plusminus unendlichkeitszeichen$ on k és un nombre real. El signe de l'infinit dependrà del signe de k i del 0 . Si necessitem saber el signe de l'infinit (per dibuixar per exemple una asímptota vertical) podeu anar a l'apartat "Límits laterals".

Exemple 1:

$Limes als x rechtspfeil minus 2 von 5 x minus Quadratwurzel aus 6 plus x Wurzelende gleich minus 10 minus Quadratwurzel aus 6 minus 2 Wurzelende gleich minus 10 minus 2 gleich Feld eingeschlossen Leerzeichen minus 12 Leerzeichen Ende$

Exemple 2:

Exemple 3:

$Limes als x rechtspfeil 1 hoch plus von Zähler minus 2 x geteilt durch Nenner x minus 1 Bruchergebnis gleich Zähler minus 2 geteilt durch Nenner 0 Bruchergebnis gleich Feld eingeschlossen Leerzeichen minus unendlichkeitszeichen Leerzeichen Leerzeichen Ende dicker rechtspfeil$ veure apartat Límits laterals

Càlcul de límits en una funció a trossos

Com trobar límits en una funció a trossos ?

Per calcular el límit d'una funció en x=a podem distingir entre dos casos:

Que x = a no sigui un punt de trencament de la funció
Que x = a sigui un punt de trencament de la funció (punt on la funció canvia d'expressió)

Cas 1:
En aquest cas per calcular el límit sols cal que fem el límit utilitzant l'expressió de la funció que correspon a l 'interval on pertany x=a

Cas 2 :

En aquest cas l'expressió de la funció a utilitzar canvia si fem el límit per l'esquerra o per la dreta. Per tant hem de fer els límits laterals en x=a.

Sols existirà el límit de la funció en x=a en el cas que aquests límits laterals coincideixin. I en aquest cas

$Limes als x rechtspfeil a von Leerzeichen f linke klammer x rechte klammer gleich Limes als x rechtspfeil a hoch plus von Leerzeichen f linke klammer x rechte klammer gleich Limes als x rechtspfeil a hoch minus von Leerzeichen f linke klammer x rechte klammer$

Exemple :

$f linke klammer x rechte klammer gleich geschweifte Klammern öffnen Tabelle Zeile Zelle Tabellenattribute Spaltenausrichtung left Ende Attribute Zeile Zelle x plus 7 Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen s i Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen x kleiner oder gleich minus 3 Ende Zelle Zeile Zelle 4 geteilt durch Klammer öffnen x plus 2 Klammer schließen im Quadrat Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen s i Leerzeichen Leerzeichen minus 3 kleiner als x kleiner als 0 Ende Zelle Ende Tabelle Ende Zelle Zeile Zelle x im Quadrat plus 2 Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen s i Leerzeichen Leerzeichen 0 kleiner oder gleich x kleiner als 1 Ende Zelle Zeile Zelle 3 Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen s i Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen x größer oder gleich 1 Ende Zelle Ende Tabelle schließen$

Calculem els límits en x=-5, -3, -2, 0, 0'5, 1 i 1'5

En x = -5

$Stapel lim Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen mit x rechtspfeil minus 5 darunter Leerzeichen f linke klammer x rechte klammer gleich Limes als x rechtspfeil minus 5 von Leerzeichen x plus 7 gleich Leerzeichen Feld eingeschlossen Leerzeichen 2 Leerzeichen Ende$

En aquest cas coincideix el límit amb la imatge

En x = -3 hi ha un punt de trencament de la funció per tant cal calcular els límits laterals

$öffnen Tabellenattribute Spaltenausrichtung right Ende Attribute Zeile Zelle Stapel lim Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen mit x rechtspfeil minus 3 hoch minus darunter Leerzeichen f linke klammer x rechte klammer gleich Limes als x rechtspfeil minus 3 hoch minus von Leerzeichen x plus 7 gleich 4 Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Ende Zelle Zeile Zelle Stapel lim Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen mit x rechtspfeil minus 3 hoch plus darunter Leerzeichen f linke klammer x rechte klammer gleich Limes als x rechtspfeil minus 3 hoch plus von Leerzeichen 4 geteilt durch Klammer öffnen x plus 2 Klammer schließen im Quadrat gleich 4 geteilt durch 1 gleich 4 Ende Zelle Ende Tabelle geschweifte Klammern schließen dicker rechtspfeil Stapel lim Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen mit x rechtspfeil minus 3 darunter Leerzeichen f linke klammer x rechte klammer gleich Leerzeichen Leerzeichen Feld eingeschlossen Leerzeichen 4 Leerzeichen Ende$

En aquest cas coincideix el límit amb la imatge

En x = -2

$Stapel lim Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen mit x rechtspfeil minus 2 darunter Leerzeichen f linke klammer x rechte klammer gleich Limes als x rechtspfeil minus 2 von Leerzeichen 4 geteilt durch Klammer öffnen x plus 2 Klammer schließen im Quadrat gleich 4 geteilt durch 0 gleich Leerzeichen Feld eingeschlossen Leerzeichen plus unendlichkeitszeichen Leerzeichen Ende Leerzeichen$

En aquest cas x = -2 no és del domini

En x = 0 sí hi ha imatge. És un punt de trencament de la funció per tant cal calcular els límits laterals

$öffnen Tabellenattribute Spaltenausrichtung right Ende Attribute Zeile Zelle Stapel lim Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen mit x rechtspfeil 0 hoch minus darunter Leerzeichen f linke klammer x rechte klammer gleich Limes als x rechtspfeil 0 hoch minus von Leerzeichen 4 geteilt durch Klammer öffnen x plus 2 Klammer schließen im Quadrat gleich 4 geteilt durch 4 gleich 1 Ende Zelle Zeile Zelle Stapel lim Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen mit x rechtspfeil 0 hoch plus darunter Leerzeichen f linke klammer x rechte klammer gleich Limes als x rechtspfeil 0 hoch plus von Leerzeichen x im Quadrat plus 2 gleich 2 Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Ende Zelle Ende Tabelle geschweifte Klammern schließen dicker rechtspfeil Stapel lim Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen mit x rechtspfeil 0 darunter Leerzeichen f linke klammer x rechte klammer gleich Leerzeichen Leerzeichen Feld eingeschlossen Leerzeichen existiert nicht Leerzeichen Ende Leerzeichen Leerzeichen linke klammer N o Leerzeichen e x i s t e i x rechte klammer$

Compte!!: que un valor tingui imatge no implica que tingui límit. En aquest cas en x=0 no té límit però f(0) = 2

En x = 0'5

$Stapel lim Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen mit x rechtspfeil 0 apostroph 5 darunter Leerzeichen f linke klammer x rechte klammer gleich Limes als x rechtspfeil 0 apostroph 5 von Leerzeichen x im Quadrat plus 2 gleich Leerzeichen Feld eingeschlossen Leerzeichen 2 apostroph 25 Leerzeichen Ende Leerzeichen$

En aquest cas coincideix el límit amb la imatge

En x =1 hi ha un trencament de la funció per tant cal calcular els límits laterals

$öffnen Tabellenattribute Spaltenausrichtung right Ende Attribute Zeile Zelle Stapel lim Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen mit x rechtspfeil 1 hoch minus darunter Leerzeichen f linke klammer x rechte klammer gleich Limes als x rechtspfeil 1 hoch minus von Leerzeichen x im Quadrat plus 2 gleich 3 Ende Zelle Zeile Zelle Stapel lim Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen mit x rechtspfeil 1 hoch plus darunter Leerzeichen f linke klammer x rechte klammer gleich Limes als x rechtspfeil 1 hoch plus von Leerzeichen 3 gleich 3 Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Ende Zelle Ende Tabelle geschweifte Klammern schließen dicker rechtspfeil Stapel lim Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen mit x rechtspfeil 1 darunter Leerzeichen f linke klammer x rechte klammer gleich Leerzeichen Leerzeichen Feld eingeschlossen Leerzeichen 3 Leerzeichen Ende Leerzeichen Leerzeichen$

En aquest cas coincideix el límit amb la imatge

En x = 1'5

$Stapel lim Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen mit x rechtspfeil 1 apostroph 5 darunter Leerzeichen f linke klammer x rechte klammer gleich Limes als x rechtspfeil 1 apostroph 5 von Leerzeichen 3 gleich Leerzeichen Feld eingeschlossen Leerzeichen 3 Leerzeichen Ende Leerzeichen$

En aquest cas coincideix el límit amb la imatge

Límits laterals

Com puc calcular els límits laterals?

Per calcular el límit lateral d'una funció en x = a cal substituir la x per aquest valor. Si dóna un nombre concret doncs aquest és el límit.

però si dóna una expressió de l'estil $k geteilt durch 0$ llavors cal mirar el signe d'aquest 0 substituint l'expressió que dóna el 0 per valors molt propers a x=a.

El resultat pot ser un nombre molt proper a 0 però positiu (0⁺) o bé negatiu (0^-).

En aquest cas dependrà també del valor de k per decidir el signe del resultat final. Per exemple:

$3 geteilt durch 0 hoch plus gleich plus unendlichkeitszeichen Komma Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen 3 geteilt durch 0 hoch minus gleich minus unendlichkeitszeichen Komma Leerzeichen Leerzeichen Zähler minus 3 geteilt durch Nenner 0 hoch plus Bruchergebnis gleich minus unendlichkeitszeichen Leerzeichen i Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Zähler minus 3 geteilt durch Nenner 0 hoch minus Bruchergebnis gleich plus unendlichkeitszeichen$

Aneu en compte que l'infinit no te límits laterals. Una cosa és el nombre + ∞ i una altra el - ∞ !

Exemple 1:

$Limes als x rechtspfeil 1 hoch plus von Zähler minus 2 x geteilt durch Nenner x minus 1 Bruchergebnis gleich Zähler minus 2 geteilt durch Nenner 0 Bruchergebnis$

Substituïm en l'expressió x-1 la x per un nombre molt proper a 1 per la seva dreta per exemple 1'000001.

$1 apostroph 000001 minus 1 gleich 0 apostroph 000001$

veiem que dóna un nombre molt proper a zero i positiu (0⁺) i per tant ja podem dir .

$Limes als x rechtspfeil 1 hoch plus von Zähler minus 2 x geteilt durch Nenner x minus 1 Bruchergebnis gleich Zähler minus 2 geteilt durch Nenner 0 hoch plus Bruchergebnis gleich minus unendlichkeitszeichen$

Exemple 2:

$Limes als x rechtspfeil 3 hoch minus von Zähler minus 2 x geteilt durch Nenner x minus 1 Bruchergebnis gleich Zähler minus 6 geteilt durch Nenner 2 Bruchergebnis gleich minus 3$

Exemple 3:

$Limes als x rechtspfeil 1 hoch minus von Zähler minus 2 x geteilt durch Nenner x im Quadrat minus 1 Bruchergebnis gleich Zähler minus 2 geteilt durch Nenner 0 Bruchergebnis$

Substituïm en l'expressió x²-1 la x per un nombre molt proper a 1 per la seva esquerra per exemple 0'99999.

$linke klammer 0 apostroph 99999 rechte klammer im Quadrat minus 1 gleich minus 0 apostroph 00002$

veiem que dóna un nombre molt proper a zero i negatiu (0^-) i per tant ja podem dir .

$Limes als x rechtspfeil 1 hoch minus von Zähler minus 2 x geteilt durch Nenner x im Quadrat minus 1 Bruchergebnis gleich Zähler minus 2 geteilt durch Nenner 0 hoch minus Bruchergebnis gleich plus unendlichkeitszeichen$

Exemple 4:

$Limes als x rechtspfeil minus 2 hoch minus von Leerzeichen Zähler x plus 3 geteilt durch Nenner 4 minus x im Quadrat Bruchergebnis gleich 1 geteilt durch 0$

Substituïm en l'expressió $4 minus x im Quadrat$ la x per un nombre molt proper a -2 per la seva esquerra per exemple -2'000001.

$4 minus linke klammer minus 2 apostroph 000001 rechte klammer im Quadrat gleich minus 0 apostroph 000004$

veiem que dóna un nombre molt proper a zero i negatiu (0^-) i per tant ja podem dir .

$Limes als x rechtspfeil minus 2 hoch minus von Leerzeichen Zähler x plus 3 geteilt durch Nenner 4 minus x im Quadrat Bruchergebnis gleich 1 geteilt durch 0 hoch minus gleich minus unendlichkeitszeichen$

Exemple 5:

$Limes als x rechtspfeil minus 2 hoch plus von Leerzeichen Zähler x plus 3 geteilt durch Nenner 4 minus x im Quadrat Bruchergebnis gleich 1 geteilt durch 0$

Substituïm en l'expressió $4 minus x im Quadrat$ la x per un nombre molt proper a -2 per la seva dreta per exemple -1'99999.

$4 minus linke klammer minus 1 apostroph 99999 rechte klammer im Quadrat gleich 0 apostroph 000004$

veiem que dóna un nombre molt proper a zero i positiu (0⁺) i per tant ja podem dir .

$Limes als x rechtspfeil minus 2 hoch plus von Leerzeichen Zähler x plus 3 geteilt durch Nenner 4 minus x im Quadrat Bruchergebnis gleich 1 geteilt durch 0 hoch plus gleich plus unendlichkeitszeichen$

Càlcul del límit d'una funció en el infinit

Com calculo el límit d'una funció en el infinit?

Per calcular $Stapel lim Leerzeichen Leerzeichen mit x rechtspfeil plus unendlichkeitszeichen darunter f linke klammer x rechte klammer Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen o Leerzeichen b é Leerzeichen Leerzeichen Stapel l i m Leerzeichen Leerzeichen mit x rechtspfeil minus unendlichkeitszeichen darunter f linke klammer x rechte klammer Leerzeichen Leerzeichen$ el que hem de fer és substituir, en l'expressió de la funció, la x per un valor molt gran o molt petit segons sigui el cas, i tenir present les operacions amb $\infty$ .

Aquí teniu alguns exemples:

Funció polinòmica p(x)

$\small {\lim} \limits_{x \to \infty} {p(x)}=\infty$

En tot cas cal saber el signe dels infinits.

Exemple: $p(x) =-x^3-x+1$

Volem calcular els límits:

$\small {\lim} \limits_{x \to + \infty} {p(x)}$ i $\small {\lim} \limits_{x \to - \infty} {p(x)}$

Per calcular aquest límits convindria fer una taula per saber la tendència de la funció:

Primer posem valors de "x" que van creixent cap a l'infinit, i estudiem què passa amb les seves imatges, i observem que obtenim valors molt petits , ja que són negatius.

	$\small {\lim} \limits_{x \to + \infty} {p(x)}$		$\small {\lim} \limits_{x \to - \infty} {p(x)}$

x	-x³-x+1	x	-x³-x+1
10	-1009	-10	1011
100	-1000099	-100	1000101
1000	...	-1000	...
10000	...	-10000	...
↓	↓	↓	↓
+∞	-∞	-∞	+∞
Per tant	$\small {\lim} \limits_{x \to + \infty} {p(x)}=- \infty$	Per tant	$\small {\lim} \limits_{x \to - \infty} {p(x)}=+ \infty$

De fet en un polinomi el límit quan x tendeix a infinit el determina el terme de grau més alt. En aquest exemple el terme important i que és necessari per calcular el límit és -x³

Funció racional

Les funcions racionals són les formades per la divisió de dos polinomis $f(x)= \frac{P(x)}{Q(x)}$

on P(x) és un polinomi axⁿ +bx^n-1+.....

on Q(x) és un altre polinomi cx^m +dx^m-1+.....

$\small {\lim} \limits_{x \to \infty} {f(x)}={\lim} \limits_{x \to \infty} \frac{P(x)}{Q(x)}$

Per calcular aquests límit només ens fixarem en el terme de grau més alt de cada polinomi i aquests termes ens donaran el límit. És a dir ens fixarem en

axⁿ del polinomi P(x) i en cx^mdel polinomi Q(x)

Regla del grau:

- - - Si el grau de P(x) és més gran que grau de Q(x) el $\small {\lim} \limits_{x \to \infty} {f(x)}={\lim} \limits_{x \to \infty} \frac{P(x)}{Q(x)}=\infty$
    - Si el grau de P(x) és més petit que grau de Q(x) el $\small {\lim} \limits_{x \to \infty} {f(x)}={\lim} \limits_{x \to \infty} \frac{P(x)}{Q(x)}=0$
    - Si el graus són iguals cal dividir els coeficients de grau més alt, entre sí $\small {\lim} \limits_{x \to \infty} {f(x)}={\lim} \limits_{x \to \infty} \frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{a}{c}$

Exemple

$f(x)= \frac {-x^3-x+1}{20x^3-500}$

Calculem

$\small {\lim} \limits_{x \to \infty}{f(x)}={\lim} \limits_{x \to \infty} \frac{P(x)}{Q(x)}={\lim} \limits_{x \to \infty} \frac {-x^3-x+1}{20x^3-500}=\frac{-1}{20}$

ja que els graus dels dos polinomis que formen la funció f(x) són iguals

Exemple

$f(x)= \frac {-x^3-x+1}{20x^2-500}$

Calculem

$\small {\lim} \limits_{x \to \infty}{f(x)}={\lim} \limits_{x \to \infty} \frac{P(x)}{Q(x)}={\lim} \limits_{x \to \infty} \frac {-x^3-x+1}{20x^2-500}=\infty$ ja que grau numerador és més gran que el del denominador

Exemple

$f(x)= \frac {-x^2-x+1}{20x^3-500}$

Calculem

$\small {\lim} \limits_{x \to \infty}{f(x)}={\lim} \limits_{x \to \infty} \frac{P(x)}{Q(x)}={\lim} \limits_{x \to \infty} \frac {-x^2-x+1}{20x^3-500}=0$ ja que grau numerador és més petit que el del denominador

Esdeveniments possibles en el càlcul de límits

Quins són tots els cassos possibles que ens podem trobar en el càlcul de límits?

Quan calculem límits ens podem trobar amb situacions que es resolen immediatament i altres (que anomenem indeterminacions) que requereixen d'un estudi més detallat per poder donar el resultat final.

Aquestes són les principals casuístiques:

La paraula indet significa en aquest cas "No està clar el resultat, podria donar qualsevol cosa"

Les indeterminacions requereixen com hem dit d'un estudi més detallat per saber el resultat. I cada tipus d'indeterminació té les seves tècniques per resoldre's.

Indeterminacions

INDETERMINACIONS:
Indeterm. 1: $\frac{0}{0}$	Indeterm. 2: $\frac{\infty }{\infty }$	Indeterm. 3: $\infty - \infty$
Indeterm. 4: $0 \cdot \infty$	Indeterm. 5: $1^{ \infty}$	No Indeterminat

PROCEDIMENTS DE CÀLCUL en cada una de les indeterminacions:

Indeterm. 1: Multiplicar numerador i denominador pel conjugat de denominador, descomposar numerador i denominador en factors primers (si cal usar Ruffini), simplificar la fracció i calcular el valor numèric de la funció simplificada en valor per al qual volem calcular el límit.

Indeterm. 2: Dividir numerador i denominador per x^m, on m és el major grau dels polinomis numerador i denominador. En la majoria dels casos, basta mirar el grau del numerador i el grau del denominador i aplicar :

S i Leerzeichen Leerzeichen g r a u linke klammer p linke klammer x rechte klammer rechte klammer größer als g r a u linke klammer q linke klammer x rechte klammer rechte klammer Leerzeichen Leerzeichen rechtspfeil Stapel l i m mit x rechtspfeil unendlichkeitszeichen darunter Zähler p linke klammer x rechte klammer geteilt durch Nenner q linke klammer x rechte klammer Bruchergebnis gleich Stapel l i m mit x rechtspfeil unendlichkeitszeichen darunter Zähler a x hoch m geteilt durch Nenner b x hoch n Bruchergebnis gleich Stapel l i m mit x rechtspfeil unendlichkeitszeichen darunter a geteilt durch b x hoch m minus n Endexponent gleich plusminus unendlichkeitszeichen

S i Leerzeichen Leerzeichen g r a u linke klammer p linke klammer x rechte klammer rechte klammer kleiner als g r a u linke klammer q linke klammer x rechte klammer rechte klammer Leerzeichen Leerzeichen rechtspfeil Stapel l i m mit x rechtspfeil unendlichkeitszeichen darunter Zähler p linke klammer x rechte klammer geteilt durch Nenner q linke klammer x rechte klammer Bruchergebnis gleich Stapel l i m mit x rechtspfeil unendlichkeitszeichen darunter Zähler a x hoch m geteilt durch Nenner b x hoch n Bruchergebnis gleich 0

S i Leerzeichen Leerzeichen g r a u linke klammer p linke klammer x rechte klammer rechte klammer gleich g r a u linke klammer q linke klammer x rechte klammer rechte klammer Leerzeichen Leerzeichen rechtspfeil Stapel l i m mit x rechtspfeil unendlichkeitszeichen darunter Zähler p linke klammer x rechte klammer geteilt durch Nenner q linke klammer x rechte klammer Bruchergebnis gleich Stapel l i m mit x rechtspfeil unendlichkeitszeichen darunter Zähler a x hoch m geteilt durch Nenner b x hoch n Bruchergebnis gleich Stapel l i m mit x rechtspfeil unendlichkeitszeichen darunter a geteilt durch b gleich a geteilt durch b

Indeterm. 3: Fer la diferència de les fraccions algèbriques, descomposar numerador i denominador en factors primers, simplificar i calcular el valor numèric de la funció pel valor per al qual volem calcular el límit.

Indeterm. 4: Operar convenientment l'expressió fins transformar-la en una indeterminació del tipus

$\frac{\infty }{\infty }$

Indeterm. 5: Utilitzant que si

$\mathop {\lim }\limits_{x \to c}{f(x)}=1$ i

$\mathop {\lim }\limits_{x \to c}{g(x)}= \infty$ llavors :

$\mathop {\lim }\limits_{x \to c}{f(x)^{g(x)}}=\,e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to c}{[f(x)-1]\cdot{g(x)}}}$

No Indeterm.: Si el límit ha donar un valor no indeterminat, vol dir que ja hem trobat el límit i no cal er cap pas més.

En aquest mateix llibre de moodle "Resum conceptes bàsics lliurament 1" podreu trobar totes les indeterminacions amb exemples resolts.

També a l'aula us hem penjat vídeos explicatius de cada una de les indeterminacions.

Resolució indeterminació 0/0

Com resolc la indeterminació 0/0?

Dependrà de l'expressió de f(x). Normalment ens podem trobar amb dos casos:

CAS A:

f(x) és una funció racional, és a dir una divisió entre dos polinomis. En aquest cas procedim a factoritzar els dos polinomis, simplificar i finalment tornar a fer el límit

CAS B:

L'expressió de f(x) és una fracció on el numerador o el denominador ( i sols 1 d'ells) és un polinomi i l'altre ( el numerador o el denominador) és una suma o resta on la x està sota una arrel quadrada.

En aquest cas procedim a multiplicar el numerador i denominador pel conjugat de l'expressió que conté l'arrel, factoritzar els polinomis, simplificar i finalment tornar a fer el límit .

Exemple 1 (CAS A):

$Limes als x rechtspfeil 7 von Zähler 7 x minus x im Quadrat geteilt durch Nenner 49 minus x im Quadrat Bruchergebnis gleich Zähler 49 minus 49 geteilt durch Nenner 49 minus 49 Bruchergebnis gleich 0 geteilt durch 0 Leerzeichen i n d e t Leerzeichen gleich Limes als x rechtspfeil 7 von Zähler x mal linke klammer 7 minus x rechte klammer geteilt durch Nenner linke klammer 7 minus x rechte klammer mal linke klammer 7 plus x rechte klammer Bruchergebnis gleich Limes als x rechtspfeil 7 von Zähler x mal aufwärtsdiagonal Strike linke klammer 7 minus x rechte klammer Strikeende geteilt durch Nenner aufwärtsdiagonal Strike linke klammer 7 minus x rechte klammer Strikeende mal linke klammer 7 plus x rechte klammer Bruchergebnis gleich Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Limes als x rechtspfeil 7 von Zähler x geteilt durch Nenner 7 plus x Bruchergebnis gleich 7 geteilt durch 14 gleich Leerzeichen Feld eingeschlossen 1 halber Bruch Ende$

Exemple 2 (CAS A):

$Limes als x rechtspfeil 1 von Zähler x im Quadrat minus 2 x plus 1 geteilt durch Nenner Leerzeichen Leerzeichen 2 x im Quadrat plus 4 x minus 6 Bruchergebnis gleich Zähler 1 minus 2 plus 1 geteilt durch Nenner 2 plus 4 minus 6 Bruchergebnis gleich 0 geteilt durch 0 Leerzeichen i n d e t Leerzeichen gleich Limes als x rechtspfeil 1 von Zähler linke klammer x minus 1 rechte klammer im Quadrat geteilt durch Nenner 2 mal linke klammer x minus 1 rechte klammer mal linke klammer x plus 3 rechte klammer Bruchergebnis gleich Limes als x rechtspfeil 1 von Zähler aufwärtsdiagonal Strike linke klammer x minus 1 rechte klammer Strikeende mal linke klammer x minus 1 rechte klammer geteilt durch Nenner 2 mal aufwärtsdiagonal Strike linke klammer x minus 1 rechte klammer Strikeende mal linke klammer x plus 3 rechte klammer Bruchergebnis gleich Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Limes als x rechtspfeil 1 von Zähler x minus 1 geteilt durch Nenner 2 x plus 6 Bruchergebnis gleich 0 geteilt durch 8 gleich Leerzeichen Feld eingeschlossen 0$

Exemple 3 (CAS B):

$Limes als Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen x rechtspfeil minus 2 von Leerzeichen Zähler Quadratwurzel aus 6 plus x Wurzelende plus x geteilt durch Nenner Leerzeichen Leerzeichen x plus 2 Bruchergebnis gleich Zähler Quadratwurzel aus 4 minus 2 geteilt durch Nenner minus 2 plus 2 Bruchergebnis gleich 0 geteilt durch 0 Leerzeichen i n d e t Leerzeichen gleich Limes als x rechtspfeil minus 2 von Leerzeichen Zähler Klammer öffnen Quadratwurzel aus 6 plus x Wurzelende plus x Klammer schließen Klammer öffnen Quadratwurzel aus 6 plus x Wurzelende minus x Klammer schließen geteilt durch Nenner Leerzeichen Klammer öffnen Leerzeichen x plus 2 Klammer schließen Klammer öffnen Quadratwurzel aus 6 plus x Wurzelende minus x Klammer schließen Bruchergebnis gleich Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Limes als Leerzeichen Leerzeichen x rechtspfeil minus 2 von Leerzeichen Zähler Klammer öffnen Quadratwurzel aus 6 plus x Wurzelende Klammer schließen im Quadrat minus x im Quadrat geteilt durch Nenner Leerzeichen Klammer öffnen Leerzeichen x plus 2 Klammer schließen Klammer öffnen Quadratwurzel aus 6 plus x Wurzelende minus x Klammer schließen Bruchergebnis gleich Limes als Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen x rechtspfeil minus 2 von Leerzeichen Zähler 6 plus x minus x im Quadrat geteilt durch Nenner Leerzeichen Klammer öffnen Leerzeichen x plus 2 Klammer schließen Klammer öffnen Quadratwurzel aus 6 plus x Wurzelende minus x Klammer schließen Bruchergebnis gleich Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Limes als Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen x rechtspfeil minus 2 von Leerzeichen Zähler minus linke klammer x im Quadrat minus x minus 6 rechte klammer geteilt durch Nenner Leerzeichen Klammer öffnen Leerzeichen x plus 2 Klammer schließen Klammer öffnen Quadratwurzel aus 6 plus x Wurzelende minus x Klammer schließen Bruchergebnis gleich Limes als Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen x rechtspfeil minus 2 von Leerzeichen Zähler minus aufwärtsdiagonal Strike linke klammer x plus 2 rechte klammer Leerzeichen Strikeende linke klammer x minus 3 rechte klammer geteilt durch Nenner Leerzeichen aufwärtsdiagonal Strike Klammer öffnen Leerzeichen x plus 2 Klammer schließen Strikeende Leerzeichen Klammer öffnen Quadratwurzel aus 6 plus x Wurzelende minus x Klammer schließen Bruchergebnis gleich Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Limes als Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen x rechtspfeil minus 2 von Leerzeichen Zähler minus x plus 3 geteilt durch Nenner Leerzeichen Leerzeichen Klammer öffnen Quadratwurzel aus 6 plus x Wurzelende minus x Klammer schließen Bruchergebnis gleich Zähler 5 geteilt durch Nenner Quadratwurzel aus 4 plus 2 Bruchergebnis gleich Feld eingeschlossen Leerzeichen 5 geteilt durch 4 Leerzeichen Ende$

Exemple 4 (CAS B):

$Limes als x rechtspfeil 7 von Leerzeichen Leerzeichen Zähler 7 x minus x im Quadrat geteilt durch Nenner 3 minus Quadratwurzel aus x plus 2 Wurzelende Bruchergebnis gleich Zähler 49 minus 49 geteilt durch Nenner 3 minus Quadratwurzel aus 9 Bruchergebnis gleich 0 geteilt durch 0 Leerzeichen i n d e t Leerzeichen gleich Limes als x rechtspfeil 7 von Zähler Klammer öffnen 7 x minus x im Quadrat Klammer schließen mal linke klammer 3 plus Quadratwurzel aus x plus 2 Wurzelende rechte klammer geteilt durch Nenner linke klammer 3 minus Quadratwurzel aus x plus 2 Wurzelende rechte klammer mal linke klammer 3 plus Quadratwurzel aus x plus 2 Wurzelende rechte klammer Bruchergebnis gleich Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Limes als x rechtspfeil 7 von Zähler Klammer öffnen 7 x minus x im Quadrat Klammer schließen mal linke klammer 3 plus Quadratwurzel aus x plus 2 Wurzelende rechte klammer geteilt durch Nenner 9 minus Klammer öffnen Quadratwurzel aus x plus 2 Wurzelende Klammer schließen im Quadrat Bruchergebnis gleich Limes als x rechtspfeil 7 von Zähler Klammer öffnen 7 x minus x im Quadrat Klammer schließen mal linke klammer 3 plus Quadratwurzel aus x plus 2 Wurzelende rechte klammer geteilt durch Nenner 9 minus x minus 2 Bruchergebnis gleich Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Limes als x rechtspfeil 7 von Zähler Klammer öffnen 7 x minus x im Quadrat Klammer schließen mal linke klammer 3 plus Quadratwurzel aus x plus 2 Wurzelende rechte klammer geteilt durch Nenner 7 minus x Bruchergebnis gleich Limes als x rechtspfeil 7 von Zähler x mal aufwärtsdiagonal Strike Klammer öffnen 7 minus x Klammer schließen Strikeende mal linke klammer 3 plus Quadratwurzel aus x plus 2 Wurzelende rechte klammer geteilt durch Nenner aufwärtsdiagonal Strike linke klammer 7 minus x rechte klammer Strikeende Bruchergebnis gleich Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Limes als x rechtspfeil 7 von Zähler x mal linke klammer 3 plus Quadratwurzel aus x plus 2 Wurzelende rechte klammer geteilt durch Nenner 1 Bruchergebnis gleich Limes als x rechtspfeil 7 von Leerzeichen x mal Klammer öffnen 3 plus Quadratwurzel aus x plus 2 Wurzelende Klammer schließen gleich 7 mal linke klammer 3 plus 3 rechte klammer gleich Leerzeichen Feld eingeschlossen Leerzeichen 42 Leerzeichen Ende$

Resolució indeterminació ∞/∞

Com resolc la indeterminació $fett unendlichkeitszeichen geteilt durch fett unendlichkeitszeichen$ ?

Dependrà de l'expressió . Bàsicament ens podem trobar amb dos casos:

CAS A:

L'expressió és una divisió entre dos polinomis. En aquest cas procedim a comparar els graus dels polinomis

Imaginem que l'expressió és del tipus $Zähler p linke klammer x rechte klammer geteilt durch Nenner q linke klammer x rechte klammer Bruchergebnis Leerzeichen Leerzeichen o n Leerzeichen p linke klammer x rechte klammer Leerzeichen gleich a x hoch m plus... Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen i Leerzeichen q linke klammer x rechte klammer gleich b x hoch n plus...$ i m i n són els termes de major grau dels polinomis p(x) i q(x). Llavors:

$S i Leerzeichen Leerzeichen g r a u linke klammer p linke klammer x rechte klammer rechte klammer größer als g r a u linke klammer q linke klammer x rechte klammer rechte klammer Leerzeichen Leerzeichen rechtspfeil Limes als x rechtspfeil unendlichkeitszeichen von Zähler p linke klammer x rechte klammer geteilt durch Nenner q linke klammer x rechte klammer Bruchergebnis gleich Limes als x rechtspfeil unendlichkeitszeichen von Zähler a x hoch m geteilt durch Nenner b x hoch n Bruchergebnis gleich Limes als x rechtspfeil unendlichkeitszeichen von a geteilt durch b x hoch m minus n Endexponent gleich plusminus unendlichkeitszeichen$
$S i Leerzeichen Leerzeichen g r a u linke klammer p linke klammer x rechte klammer rechte klammer kleiner als g r a u linke klammer q linke klammer x rechte klammer rechte klammer Leerzeichen Leerzeichen rechtspfeil Limes als x rechtspfeil unendlichkeitszeichen von Zähler p linke klammer x rechte klammer geteilt durch Nenner q linke klammer x rechte klammer Bruchergebnis gleich Limes als x rechtspfeil unendlichkeitszeichen von Zähler a x hoch m geteilt durch Nenner b x hoch n Bruchergebnis gleich 0$
$S i Leerzeichen Leerzeichen g r a u linke klammer p linke klammer x rechte klammer rechte klammer gleich g r a u linke klammer q linke klammer x rechte klammer rechte klammer Leerzeichen Leerzeichen rechtspfeil Limes als x rechtspfeil unendlichkeitszeichen von Zähler p linke klammer x rechte klammer geteilt durch Nenner q linke klammer x rechte klammer Bruchergebnis gleich Limes als x rechtspfeil unendlichkeitszeichen von Zähler a x hoch m geteilt durch Nenner b x hoch n Bruchergebnis gleich Limes als x rechtspfeil unendlichkeitszeichen von a geteilt durch b gleich a geteilt durch b$

CAS B:

L'expressió és una fracció on el numerador o el denominador no tenen perquè ser polinomis. Per exemple pot aparèixer la funció exponencial o la logarítmica

En aquest cas procedim a mirar quina de les dues expressions (numerador o denominador) tendeix més ràpidament cap a infinit.

Les funcions exponencials són les que creixen més ràpidament, després van les polinòmiques i les últimes són les logarítmiques. El que fem és doncs considerar el límit de la que creix més lentament com si fòs una constant (del mateix signe que l'expressió) i tornem a fer el límit.

Exemple 1 (CAS A):

$Limes als x rechtspfeil plus unendlichkeitszeichen von Zähler 7 x minus x im Quadrat geteilt durch Nenner 49 plus 2 x im Quadrat Bruchergebnis gleich Zähler minus unendlichkeitszeichen geteilt durch Nenner plus unendlichkeitszeichen Bruchergebnis Leerzeichen i n d e t Leerzeichen gleich Limes als x plus unendlichkeitszeichen von Zähler minus x im Quadrat geteilt durch Nenner 2 x im Quadrat Bruchergebnis gleich Limes als x plus unendlichkeitszeichen von Zähler minus 1 geteilt durch Nenner 2 Bruchergebnis gleich Leerzeichen Feld eingeschlossen minus 1 halber Bruch Ende$

Exemple 2 (CAS A):

$Limes als x rechtspfeil minus unendlichkeitszeichen von Zähler minus 2 x plus 1 geteilt durch Nenner Leerzeichen Leerzeichen x im Quadrat plus 4 x minus 6 Bruchergebnis gleich Zähler plus unendlichkeitszeichen geteilt durch Nenner plus unendlichkeitszeichen Bruchergebnis Leerzeichen i n d e t Leerzeichen gleich Limes als x rechtspfeil minus unendlichkeitszeichen von Zähler minus 2 x geteilt durch Nenner Leerzeichen Leerzeichen x im Quadrat Bruchergebnis gleich Limes als x rechtspfeil minus unendlichkeitszeichen von Zähler minus 2 geteilt durch Nenner Leerzeichen Leerzeichen x Bruchergebnis gleich Zähler minus 2 geteilt durch Nenner minus unendlichkeitszeichen Bruchergebnis gleich Leerzeichen Feld eingeschlossen 0$

Exemple 3 (CAS A):

$Limes als x rechtspfeil plus unendlichkeitszeichen von Zähler minus 2 x hoch 4 plus 1 geteilt durch Nenner Leerzeichen 4 x im Quadrat minus 6 x Bruchergebnis gleich Zähler minus unendlichkeitszeichen geteilt durch Nenner plus unendlichkeitszeichen Bruchergebnis Leerzeichen i n d e t Leerzeichen gleich Limes als x rechtspfeil plus unendlichkeitszeichen von Zähler minus 2 x hoch 4 geteilt durch Nenner Leerzeichen 4 x im Quadrat Bruchergebnis gleich Limes als x rechtspfeil plus unendlichkeitszeichen von Zähler minus 2 x im Quadrat geteilt durch Nenner Leerzeichen 4 Bruchergebnis gleich Limes als x rechtspfeil plus unendlichkeitszeichen von Zähler minus 1 geteilt durch Nenner Leerzeichen 2 Bruchergebnis x im Quadrat gleich Zähler minus 1 geteilt durch Nenner Leerzeichen 2 Bruchergebnis mal linke klammer plus unendlichkeitszeichen rechte klammer gleich Leerzeichen Feld eingeschlossen Leerzeichen minus unendlichkeitszeichen Leerzeichen Ende$

Exemple 4 (CAS B):

$Limes als Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen x rechtspfeil plus unendlichkeitszeichen von Leerzeichen Zähler 2 x plus e hoch x geteilt durch Nenner Leerzeichen Leerzeichen x plus 2 Bruchergebnis gleich Zähler plus unendlichkeitszeichen geteilt durch Nenner plus unendlichkeitszeichen Bruchergebnis Leerzeichen i n d e t Leerzeichen gleich Limes als Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen x rechtspfeil plus unendlichkeitszeichen von Leerzeichen Zähler 2 x plus e hoch x geteilt durch Nenner Leerzeichen Leerzeichen K Bruchergebnis gleich Zähler plus unendlichkeitszeichen geteilt durch Nenner k Bruchergebnis gleich Leerzeichen Leerzeichen Feld eingeschlossen Leerzeichen plus unendlichkeitszeichen Leerzeichen Ende Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen linke klammer o n Leerzeichen k größer als 0 rechte klammer$

Exemple 5 (CAS B):

$Limes als Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen x rechtspfeil plus unendlichkeitszeichen von Leerzeichen Zähler log linke klammer x plus 1 rechte klammer geteilt durch Nenner Leerzeichen Leerzeichen x plus 2 Bruchergebnis gleich Zähler plus unendlichkeitszeichen geteilt durch Nenner plus unendlichkeitszeichen Bruchergebnis Leerzeichen i n d e t Leerzeichen gleich Limes als Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen x rechtspfeil plus unendlichkeitszeichen von Leerzeichen Zähler K geteilt durch Nenner Leerzeichen Leerzeichen x plus 2 Bruchergebnis gleich Zähler K geteilt durch Nenner plus unendlichkeitszeichen Bruchergebnis gleich Leerzeichen Leerzeichen Feld eingeschlossen Leerzeichen 0 Leerzeichen Ende Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen linke klammer o n Leerzeichen k größer als 0 rechte klammer$

Exemple 6 (CAS B):

$Limes als Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen x rechtspfeil plus unendlichkeitszeichen von Leerzeichen Zähler e hoch x plus 1 Endexponent geteilt durch Nenner minus 2 Leerzeichen log linke klammer x plus 1 rechte klammer Bruchergebnis gleich Zähler plus unendlichkeitszeichen geteilt durch Nenner minus 2 linke klammer plus unendlichkeitszeichen rechte klammer Bruchergebnis gleich Zähler plus unendlichkeitszeichen geteilt durch Nenner minus unendlichkeitszeichen Bruchergebnis Leerzeichen i n d e t Leerzeichen gleich Limes als Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen x rechtspfeil plus unendlichkeitszeichen von Leerzeichen Zähler e hoch x plus 1 Endexponent geteilt durch Nenner Leerzeichen K Bruchergebnis gleich Zähler plus unendlichkeitszeichen geteilt durch Nenner k Bruchergebnis gleich Leerzeichen Leerzeichen Feld eingeschlossen Leerzeichen minus unendlichkeitszeichen Leerzeichen Ende Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen linke klammer o n Leerzeichen k kleiner als 0 rechte klammer$

Resolució indeterminació ∞ - ∞

Com resolc la indeterminació ∞ - ∞ ?

Aquest tipus d'indeterminacions apareix quan es calcula el límit en l'infinit de diferents funcions polinòmiques, racionals o irracionals. Per a cada cas hi ha una tècnica diferent per resoldre-la

CAS A: límit de polinomis

En aquest cas el límit del polinomi queda igual que el límit dels terme de major grau

$Leerzeichen Feld eingeschlossen Leerzeichen Limes als x rechtspfeil unendlichkeitszeichen von a unterer Index n x hoch n plus a unterer Index n minus 1 Ende unterer Index x hoch n minus 1 Endexponent plus..... plus a unterer Index 0 gleich Limes als x rechtspfeil unendlichkeitszeichen von a unterer Index n x hoch n Leerzeichen Leerzeichen Ende$

CAS B: quan tenim una suma o resta de fraccions algebraiques

En aquest cas cal reduir l'expressió a una única fracció algebraica (fent la suma o resta de fraccions i tornar a fer el límit. Normalment torna a sortir una indeterminació però més fàcil de resoldre (normalment $unendlichkeitszeichen geteilt durch unendlichkeitszeichen$ )

CAS B: quan tenim una suma o resta d'una funció irracional amb un polinomi o una fracció algebraica

En aquest cas cal multiplicar tota l'expressió pel conjugat d'ella mateixa, arreglar i tornar a fer el límit. Normalment torna a sortir una indeterminació però més fàcil de resoldre (normalment $unendlichkeitszeichen geteilt durch unendlichkeitszeichen$ )

Exemple 1 (CAS A):

$Stapel l i m mit x rechtspfeil plus unendlichkeitszeichen darunter 3 x im Quadrat minus 5 x hoch drei gleich Limes als x rechtspfeil plus unendlichkeitszeichen von minus 5 x hoch drei gleich minus 5 mal linke klammer plus unendlichkeitszeichen rechte klammer gleich Leerzeichen Feld eingeschlossen Leerzeichen minus unendlichkeitszeichen Leerzeichen Ende Leerzeichen$

Exemple 2 (CAS B):

$Stapel l i m mit x rechtspfeil minus unendlichkeitszeichen darunter Klammer öffnen Zähler x im Quadrat plus 1 geteilt durch Nenner Leerzeichen Leerzeichen x Bruchergebnis plus Zähler 5 x minus x im Quadrat geteilt durch Nenner 3 x minus 1 Bruchergebnis Klammer schließen gleich Klammer öffnen Zähler plus unendlichkeitszeichen geteilt durch Nenner minus unendlichkeitszeichen Bruchergebnis i n d e t plus Zähler minus unendlichkeitszeichen geteilt durch Nenner minus unendlichkeitszeichen Bruchergebnis i n d e t Klammer schließen Leerzeichen Leerzeichen gleich Klammer öffnen minus unendlichkeitszeichen plus unendlichkeitszeichen Klammer schließen Leerzeichen i n d e t Leerzeichen gleich Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Limes als x rechtspfeil minus unendlichkeitszeichen von Klammer öffnen Zähler linke klammer x im Quadrat plus 1 rechte klammer linke klammer 3 x minus 1 rechte klammer geteilt durch Nenner Leerzeichen Leerzeichen x linke klammer 3 x minus 1 rechte klammer Bruchergebnis plus Zähler x linke klammer 5 x minus x im Quadrat rechte klammer geteilt durch Nenner x linke klammer 3 x minus 1 rechte klammer Bruchergebnis Klammer schließen gleich Limes als x rechtspfeil minus unendlichkeitszeichen von Klammer öffnen Zähler 3 x hoch drei minus x im Quadrat plus 3 x minus 1 geteilt durch Nenner Leerzeichen Leerzeichen x linke klammer 3 x minus 1 rechte klammer Bruchergebnis plus Zähler 5 x im Quadrat minus x hoch drei geteilt durch Nenner x linke klammer 3 x minus 1 rechte klammer Bruchergebnis Klammer schließen gleich Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Limes als x rechtspfeil minus unendlichkeitszeichen von Klammer öffnen Zähler 2 x hoch drei plus 4 x im Quadrat plus 3 x minus 1 geteilt durch Nenner Leerzeichen Leerzeichen 3 x im Quadrat minus x Bruchergebnis Klammer schließen gleich Zähler minus unendlichkeitszeichen geteilt durch Nenner plus unendlichkeitszeichen Bruchergebnis i n d e t Leerzeichen gleich Leerzeichen Feld eingeschlossen Leerzeichen minus unendlichkeitszeichen Leerzeichen Ende Leerzeichen Leerzeichen$

Exemple 3 (CAS C):

$Stapel l i m mit x rechtspfeil plus unendlichkeitszeichen darunter Klammer öffnen x minus Quadratwurzel aus x im Quadrat minus 1 Wurzelende Klammer schließen gleich plus unendlichkeitszeichen minus unendlichkeitszeichen Leerzeichen i n d e t Leerzeichen gleich Limes als x rechtspfeil plus unendlichkeitszeichen von Zähler Klammer öffnen x minus Quadratwurzel aus x im Quadrat minus 1 Wurzelende Klammer schließen Klammer öffnen fett x fett plus Quadratwurzel aus fett x hoch fett 2 fett minus fett 1 Wurzelende Klammer schließen geteilt durch Nenner Klammer öffnen fett x fett plus Quadratwurzel aus fett x hoch fett 2 fett minus fett 1 Wurzelende Klammer schließen Bruchergebnis gleich Limes als x rechtspfeil plus unendlichkeitszeichen von Zähler x im Quadrat minus Klammer öffnen Quadratwurzel aus x im Quadrat minus 1 Wurzelende Klammer schließen im Quadrat geteilt durch Nenner gerade x plus Quadratwurzel aus gerade x im Quadrat minus 1 Wurzelende Bruchergebnis gleich Limes als x rechtspfeil plus unendlichkeitszeichen von Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen gleich Limes als x rechtspfeil plus unendlichkeitszeichen von Zähler x im Quadrat minus linke klammer x im Quadrat minus 1 rechte klammer geteilt durch Nenner gerade x plus Quadratwurzel aus gerade x im Quadrat minus 1 Wurzelende Bruchergebnis gleich Limes als x rechtspfeil plus unendlichkeitszeichen von Zähler 1 geteilt durch Nenner gerade x plus Quadratwurzel aus gerade x im Quadrat minus 1 Wurzelende Bruchergebnis gleich Zähler 1 geteilt durch Nenner plus unendlichkeitszeichen plus unendlichkeitszeichen Bruchergebnis gleich Zähler 1 geteilt durch Nenner plus unendlichkeitszeichen Bruchergebnis gleich Leerzeichen Leerzeichen Feld eingeschlossen Leerzeichen 0 Leerzeichen Ende$

Resolució indeterminació 0 ·∞

Com resolc la indeterminació 0 · ∞ ?

Per a resoldre-la, operem convenientment l'expressió fins a transformar-la en una del tipus ∞ / ∞

Exemple :

Aquest límit tendeix cap a 0 · ∞ ja que:

$Stapel l i m mit x rechtspfeil unendlichkeitszeichen darunter Leerzeichen Klammer öffnen Kreis eingeschlossen Zähler 2 x plus 1 geteilt durch Nenner x Bruchergebnis Ende minus 2 Klammer schließen Quadratwurzel aus x Leerzeichen Wurzelende Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen gleich Leerzeichen linke klammer 2 minus 2 rechte klammer mal unendlichkeitszeichen Leerzeichen gleich Leerzeichen 0 Leerzeichen mal Leerzeichen fett unendlichkeitszeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen senkrechte ellipse Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen senkrechte ellipse Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen senkrechte ellipse Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen 2 Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen minus Leerzeichen 2 Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen unendlichkeitszeichen$

Per resoldre la indeterminació arreglarem l'expressió. I farem la resta que hi ha a dins del parèntesi:

$Stapel l i m mit x rechtspfeil unendlichkeitszeichen darunter Leerzeichen Klammer öffnen Zähler 2 x plus 1 geteilt durch Nenner x Bruchergebnis minus 2 Klammer schließen Quadratwurzel aus x Leerzeichen Wurzelende Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen gleich Leerzeichen Stapel l i m mit x rechtspfeil unendlichkeitszeichen darunter Leerzeichen Klammer öffnen Zähler aufwärtsdiagonal Strike 2 x Strikeende plus 1 geteilt durch Nenner x Bruchergebnis minus Zähler aufwärtsdiagonal Strike 2 x Strikeende geteilt durch Nenner x Bruchergebnis Klammer schließen Quadratwurzel aus x Leerzeichen Wurzelende Leerzeichen gleich Stapel l i m mit x rechtspfeil unendlichkeitszeichen darunter Leerzeichen Klammer öffnen 1 geteilt durch x Klammer schließen Quadratwurzel aus x Leerzeichen Wurzelende gleich Stapel l i m mit x rechtspfeil unendlichkeitszeichen darunter Leerzeichen Klammer öffnen Zähler Quadratwurzel aus x Leerzeichen Wurzelende geteilt durch Nenner x Bruchergebnis Klammer schließen$

Aquest límit ara és del tipus ∞/∞

Mirant el graus veiem que el grau és menor que el del denominador (grau 1) del numerador (grau 1/2)

per tant :

$Stapel l i m mit x rechtspfeil unendlichkeitszeichen darunter Leerzeichen Klammer öffnen Zähler Quadratwurzel aus x Leerzeichen Wurzelende geteilt durch Nenner x Bruchergebnis Klammer schließen Leerzeichen gleich Leerzeichen 0$

Resolució indeterminació 1∞

Com podem resoldre la indeterminació 1^∞ ?

Es pot resoldre seguint aquest procediment matemàtic o recordant la fórmula.

Aquí ho farem usant el procediment més llarg , però en el que no cal recordar cap fórmula. En l'apartat posterior ho hem fet usant la fórmula.

La resolució d'aquest tipus d'indeterminació és basa en la definició del nombre e com al límit següent:

$fett Leerzeichen fett Leerzeichen Feld eingeschlossen fett e fett Leerzeichen fett gleich Stapel fett l fett i fett m mit fett x fett rechtspfeil fett unendlichkeitszeichen darunter Klammer öffnen fett 1 fett plus fett 1 geteilt durch fett x Klammer schließen hoch fett x fett Leerzeichen fett Leerzeichen Ende$

L'objectiu d'un límit del tipus 1^∞ és convertir l'expressió del límit que estem calculant de manera que hi surti l'expressió :

$Limes als x rechtspfeil c von Klammer öffnen 1 plus Zähler 1 geteilt durch Nenner N linke klammer x rechte klammer Bruchergebnis Klammer schließen hoch N linke klammer x rechte klammer Endexponent Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen o n Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Stapel lim Leerzeichen mit x rechtspfeil c darunter N linke klammer x rechte klammer gleich unendlichkeitszeichen$

I llavors aplicarem la definició del nombre e tenint que $Limes als x rechtspfeil c von Klammer öffnen 1 plus Zähler 1 geteilt durch Nenner N linke klammer x rechte klammer Bruchergebnis Klammer schließen hoch N linke klammer x rechte klammer Endexponent gleich e Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen linke klammer j a Leerzeichen q u e Leerzeichen Leerzeichen Stapel lim Leerzeichen mit x rechtspfeil c darunter N linke klammer x rechte klammer gleich unendlichkeitszeichen Leerzeichen rechte klammer$

Mira aquests exemples:

Exemple 1:

Exemple 2 :

Limes als x rechtspfeil minus unendlichkeitszeichen von Klammer öffnen Zähler x im Quadrat minus 1 geteilt durch Nenner 2 x plus x im Quadrat Bruchergebnis Klammer schließen hoch minus x im Quadrat Endexponent gleich 1 hoch minus unendlichkeitszeichen Endexponent Leerzeichen j a Leerzeichen q u e Leerzeichen e l s Leerzeichen p o l i n o m i s Leerzeichen s ó n Leerzeichen d e l Leerzeichen m a t e i x Leerzeichen g r a u. Leerzeichen

Limes als x rechtspfeil minus unendlichkeitszeichen von Klammer öffnen 1 plus Zähler x im Quadrat minus 1 geteilt durch Nenner 2 x plus x im Quadrat Bruchergebnis minus 1 Klammer schließen hoch minus x im Quadrat Endexponent gleich Limes als x rechtspfeil minus unendlichkeitszeichen von Klammer öffnen 1 plus Zähler x im Quadrat minus 1 geteilt durch Nenner 2 x plus x im Quadrat Bruchergebnis minus Zähler 2 x plus x im Quadrat geteilt durch Nenner 2 x plus x im Quadrat Bruchergebnis Klammer schließen hoch minus x im Quadrat Endexponent gleich Limes als x rechtspfeil minus unendlichkeitszeichen von Klammer öffnen 1 plus Zähler x im Quadrat minus 1 minus 2 x minus x im Quadrat geteilt durch Nenner 2 x plus x im Quadrat Bruchergebnis Klammer schließen hoch minus x im Quadrat Endexponent gleich

gleich Limes als x rechtspfeil minus unendlichkeitszeichen von Klammer öffnen 1 plus Zähler minus 1 minus 2 x geteilt durch Nenner 2 x plus x im Quadrat Bruchergebnis Klammer schließen hoch minus x im Quadrat Endexponent gleich Limes als x rechtspfeil minus unendlichkeitszeichen von Klammer öffnen 1 plus Zähler 1 geteilt durch Nenner Anfang Anzeige Stil Zähler 2 x plus x im Quadrat geteilt durch Nenner minus 1 minus 2 x Bruchergebnis Ende Stil Bruchergebnis Klammer schließen hoch minus x im Quadrat Endexponent gleich Limes als x rechtspfeil minus unendlichkeitszeichen von Klammer öffnen 1 plus Zähler 1 geteilt durch Nenner Anfang Anzeige Stil Zähler 2 x plus x im Quadrat geteilt durch Nenner minus 1 minus 2 x Bruchergebnis Ende Stil Bruchergebnis Klammer schließen hoch Zähler 2 x plus x im Quadrat geteilt durch Nenner minus 1 minus 2 x Bruchergebnis mal Zähler minus 1 minus 2 x geteilt durch Nenner 2 x plus x im Quadrat Bruchergebnis mal linke klammer minus x im Quadrat rechte klammer Endexponent gleich

gleich Limes als x rechtspfeil minus unendlichkeitszeichen Leerzeichen von eckige Klammern öffnen Limes als x rechtspfeil minus unendlichkeitszeichen von Klammer öffnen 1 plus Zähler 1 geteilt durch Nenner Anfang Anzeige Stil Zähler 2 x plus x im Quadrat geteilt durch Nenner minus 1 minus 2 x Bruchergebnis Ende Stil Bruchergebnis Klammer schließen hoch Zähler 2 x plus x im Quadrat geteilt durch Nenner minus 1 minus 2 x Bruchergebnis mal Endexponent eckige Klammern schließen hoch Zähler minus 1 minus 2 x geteilt durch Nenner 2 x plus x im Quadrat Bruchergebnis mal linke klammer minus x im Quadrat rechte klammer Endexponent gleich e hoch Limes als Leerzeichen x rechtspfeil minus unendlichkeitszeichen von Klammer öffnen Zähler minus 1 minus 2 x geteilt durch Nenner 2 x plus x im Quadrat Bruchergebnis mal linke klammer minus x im Quadrat rechte klammer Klammer schließen Endexponent gleich e hoch Limes als Leerzeichen x rechtspfeil minus unendlichkeitszeichen von Klammer öffnen Zähler x im Quadrat plus 2 x hoch drei geteilt durch Nenner 2 x plus x im Quadrat Bruchergebnis Klammer schließen Endexponent gleich e hoch minus unendlichkeitszeichen Endexponent Leerzeichen gleich 1 geteilt durch e hoch unendlichkeitszeichen gleich 1 geteilt durch unendlichkeitszeichen gleich 0

Resolució indeterminació 1∞ (per fórmula)

Com podem resoldre la indeterminació $fett 1 hoch fett unendlichkeitszeichen$ ?

Es pot resoldre seguint aquest procediment matemàtic o recordant la fórmula.

Aquí ho farem usant la fórmula. En l'apartat anterior podeu veure la resolució seguint el procediment més matemàtic i manual, i sense utilitzar aquesta fórmula. Podeu triar e que us sembli més còmode.

Si el límit que ens proposen, una vegada substituït x per "infinit" obtenim la indeterminació $fett 1 hoch fett unendlichkeitszeichen$ podem usar aquesta fórmula :

$Feld eingeschlossen Stapel l i m mit x rechtspfeil unendlichkeitszeichen darunter f linke klammer x rechte klammer hoch g linke klammer x rechte klammer Endexponent Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen gleich Leerzeichen e hoch Stapel l i m Leerzeichen Leerzeichen mit x rechtspfeil unendlichkeitszeichen darunter linke klammer f linke klammer x rechte klammer minus 1 rechte klammer Leerzeichen mal g linke klammer x rechte klammer Endexponent Leerzeichen Ende$

La resolució d'aquest tipus d'indeterminació és basa en la definició del nombre e com al límit següent:

Exemple 1 : (que també trobareu resolt usant el procediment més manual)

$Stapel l i m mit x rechtspfeil minus unendlichkeitszeichen darunter Klammer öffnen Zähler x im Quadrat minus 1 geteilt durch Nenner 2 x plus x im Quadrat Bruchergebnis Klammer schließen hoch minus x im Quadrat Endexponent gleich Klammer öffnen Zähler plus unendlichkeitszeichen geteilt durch Nenner plus unendlichkeitszeichen Bruchergebnis Leerzeichen i n d e t Klammer schließen hoch minus unendlichkeitszeichen Endexponent gleich 1 hoch minus unendlichkeitszeichen Endexponent Leerzeichen Leerzeichen linke klammer j a Leerzeichen q u e Leerzeichen e l s Leerzeichen p o l i n o m i s Leerzeichen s ó n Leerzeichen d e l Leerzeichen m a t e i x Leerzeichen g r a u rechte klammer Stapel l i m mit x rechtspfeil minus unendlichkeitszeichen darunter Klammer öffnen Zähler x im Quadrat minus 1 geteilt durch Nenner 2 x plus x im Quadrat Bruchergebnis Klammer schließen hoch minus x im Quadrat Endexponent gleich Leerzeichen e hoch Stapel l i m mit x rechtspfeil minus unendlichkeitszeichen darunter Klammer öffnen Zähler x im Quadrat minus 1 geteilt durch Nenner 2 x plus x im Quadrat Bruchergebnis minus 1 Klammer schließen mal Klammer öffnen minus x im Quadrat Klammer schließen Endexponent gleich e hoch Stapel l i m mit x rechtspfeil minus unendlichkeitszeichen darunter Klammer öffnen Zähler x im Quadrat minus 1 geteilt durch Nenner 2 x plus x im Quadrat Bruchergebnis minus Zähler 2 x plus x im Quadrat geteilt durch Nenner 2 x plus x im Quadrat Bruchergebnis Klammer schließen mal Klammer öffnen minus x im Quadrat Klammer schließen Endexponent gleich e hoch Stapel l i m mit x rechtspfeil minus unendlichkeitszeichen darunter Klammer öffnen Zähler minus 1 minus 2 x geteilt durch Nenner 2 x plus x im Quadrat Bruchergebnis Klammer schließen mal Klammer öffnen minus x im Quadrat Klammer schließen Endexponent gleich e hoch Stapel l i m mit x rechtspfeil minus unendlichkeitszeichen darunter Klammer öffnen Zähler x im Quadrat plus 2 x hoch drei geteilt durch Nenner 2 x plus x im Quadrat Bruchergebnis Klammer schließen Endexponent gleich gleich e hoch Zähler minus unendlichkeitszeichen geteilt durch Nenner plus unendlichkeitszeichen Bruchergebnis i n d e t Endexponent linke klammer m i r a n t Leerzeichen e l s Leerzeichen g r a u s rechte klammer gleich e hoch minus unendlichkeitszeichen Endexponent gleich 1 geteilt durch e hoch plus unendlichkeitszeichen Endexponent gleich Zähler 1 geteilt durch Nenner plus unendlichkeitszeichen Bruchergebnis gleich Leerzeichen Feld eingeschlossen Leerzeichen Leerzeichen 0 Leerzeichen Leerzeichen Ende$

ASÍMPTOTES. Concepte

Les asímptotes d'una funció són rectes a les que s'aproxima la funció en l'infinit.

Hi ha de tres tipus: Horitzontals, verticals i obliqües. No totes les funcions tenen asímptotes.

En les gràfiques següents es veuen algunes funcions i les asímptotes, si en tenen.

Aquesta funció no té cap asímptota

Aquesta funció té una asímptota vertical en x=2.

$\small {\lim} \limits_{x\to {2}^-} f(x)=+ \infty$

$\small {\lim} \limits_{x\to {2}^+} f(x)=+ \infty$ i $f(2)$ no existeix

Aquesta funció té una asímptota obliqua

Aquesta funció té una asímptota horitzontal i es compleix que:

$\small {\lim} \limits_{x\to {+ \infty}} f(x) =2$

Procediment per estudiar les asímptotes d'una funció

- - - Si la funció és polinòmica no té asímptotes.
    - Asímptotes horitzontals es troben calculant :

$\small {\lim} \limits_{x\to {+ \infty}} f(x) =a$

$\small {\lim} \limits_{x\to {- \infty}} f(x)=b$

Han de donar valors reals ( no infinits). Llavors direm que en la recta horitzontal $y=a$ i $y=b$ hi ha asímptota horitzontal.

- - - Asímptotes verticals.

Primer cal trobar el domini de la funció. Els punts obtinguts (x ₀ ,...) que no siguin del domini són punts en els que cal estudiar els límits laterals i on es poden detectar asímptotes

Aquests límits laterals han de donar infinit. Si és així correspondran a asímptotes verticals:

$\small {\lim} \limits_{x\to {x_0}^-} f(x) = \infty$

$\small {\lim} \limits_{x\to {x _0}^+} f(x)= \infty$

Si es compleix això direm que en $x=x_0$ hi ha una asímptota vertical

Asímptotes obliqües:

1.- Fer el $Limes als x rechtspfeil unendlichkeitszeichen von Zähler f linke klammer x rechte klammer geteilt durch Nenner x Bruchergebnis$ aleshores :
- Si dóna ∞ aleshores no hi ha A.O. En aquest cas ja no cal seguir
- Si dóna 0 vol dir que és una recta horitzontal (pendent 0) i per tant ja hauria sortit al buscar asímptotes horitzontals. En aquest cas ja no cal seguir
- En qualsevol altre cas dóna un nombre real. Aquest nombre serà la pendent de l'A.O i l'anomenarem $m gleich Leerzeichen Stapel lim Leerzeichen Leerzeichen mit x rechtspfeil unendlichkeitszeichen darunter Zähler f linke klammer x rechte klammer geteilt durch Nenner x Bruchergebnis$
2.- Fer el $Stapel lim Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen mit x rechtspfeil unendlichkeitszeichen darunter f linke klammer x rechte klammer minus m x$ aleshores :
- Si dóna ∞ aleshores no hi ha A.O. En aquest cas ja no cal seguir
- En qualsevol altre cas dóna un nombre real. Aquest nombre serà l'ordenada a l'origen de l'A.O i l'anomenarem $b gleich Leerzeichen Stapel lim Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen mit x rechtspfeil unendlichkeitszeichen darunter f linke klammer x rechte klammer minus m x$
3.- Un cop hem trobat m i b l'asímptota obliqua serà la recta que té per equació $Feld eingeschlossen y gleich m x plus b Ende$

Asímptotes horitzontals

Com podem trobar les asímptotes horitzontals d'una funció?

Una funció té una asímptota horitzontal y=k quan

$Leerzeichen Leerzeichen Stapel lim Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen mit x rechtspfeil minus unendlichkeitszeichen darunter f linke klammer x rechte klammer gleich k Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen o Leerzeichen b é Leerzeichen Limes als Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen x rechtspfeil plus unendlichkeitszeichen von f linke klammer x rechte klammer gleich k Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen linke klammer Leerzeichen o Leerzeichen e l s Leerzeichen d o s Leerzeichen l í m i t s Leerzeichen d o n e n Leerzeichen k rechte klammer$

Llavors:

Si la funció és polinòmica: No pot tenir asímptotes horitzontals ja qualsevol d'aquests límits dóna $plus unendlichkeitszeichen Leerzeichen Leerzeichen o Leerzeichen Leerzeichen minus unendlichkeitszeichen$

Si la funció és racional: és a dir del tipus $Zähler p linke klammer x rechte klammer geteilt durch Nenner q linke klammer x rechte klammer Bruchergebnis$ on p(x) i q(x) són polinomis, aleshores dependrà del grau dels polinomis.

Per exemple :

$S i Leerzeichen f linke klammer x rechte klammer gleich Zähler 6 x minus 2 geteilt durch Nenner 1 minus 2 x Bruchergebnis rechtspfeil Limes als x rechtspfeil plusminus unendlichkeitszeichen von f linke klammer x rechte klammer gleich Limes als x rechtspfeil plusminus unendlichkeitszeichen von Zähler 6 x minus 2 geteilt durch Nenner 1 minus 2 x Bruchergebnis gleich minus 3 dicker rechtspfeil Leerzeichen Leerzeichen y gleich minus 3 Leerzeichen é s Leerzeichen A. H Leerzeichen d e Leerzeichen f linke klammer x rechte klammer S i Leerzeichen g linke klammer x rechte klammer gleich Zähler 2 x geteilt durch Nenner x im Quadrat minus 3 Bruchergebnis rechtspfeil Limes als x rechtspfeil plusminus unendlichkeitszeichen von g linke klammer x rechte klammer gleich Limes als x rechtspfeil plusminus unendlichkeitszeichen von Zähler 2 x geteilt durch Nenner x im Quadrat minus 3 Bruchergebnis gleich 0 dicker rechtspfeil Leerzeichen Leerzeichen y gleich 0 Leerzeichen é Leerzeichen A. H Leerzeichen d e Leerzeichen g linke klammer x rechte klammer S i Leerzeichen h linke klammer x rechte klammer gleich Zähler 2 x hoch drei minus 4 geteilt durch Nenner x im Quadrat minus 3 Bruchergebnis rechtspfeil Limes als x rechtspfeil plusminus unendlichkeitszeichen von h linke klammer x rechte klammer gleich Limes als x rechtspfeil plusminus unendlichkeitszeichen von Zähler 2 x hoch drei minus 4 geteilt durch Nenner x im Quadrat minus 3 Bruchergebnis gleich plusminus unendlichkeitszeichen dicker rechtspfeil Leerzeichen Leerzeichen h linke klammer x rechte klammer Leerzeichen N O Leerzeichen t é Leerzeichen A. H$

Si en l'expressió de la funció hi ha una expressió exponencial: cal tenir en compte que

$Limes als x rechtspfeil plus unendlichkeitszeichen von a hoch x gleich geschweifte Klammern öffnen Tabellenattribute Spaltenausrichtung left Ende Attribute Zeile Zelle plus unendlichkeitszeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen s i Leerzeichen a größer als 1 Ende Zelle Zeile Zelle 0 Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen s i Leerzeichen 0 kleiner als a kleiner als 1 Ende Zelle Ende Tabelle schließen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen i Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen a hoch minus unendlichkeitszeichen Endexponent gleich 1 geteilt durch a hoch plus unendlichkeitszeichen Endexponent$

Per exemple :

$S i Leerzeichen g linke klammer x rechte klammer gleich Klammer öffnen 1 halber Bruch Klammer schließen hoch x Leerzeichen dicker rechtspfeil Limes als x rechtspfeil plus unendlichkeitszeichen von g linke klammer x rechte klammer Leerzeichen gleich Limes als x rechtspfeil plus unendlichkeitszeichen von Klammer öffnen 1 halber Bruch Klammer schließen hoch x gleich Klammer öffnen 1 halber Bruch Klammer schließen hoch unendlichkeitszeichen gleich 0 Leerzeichen dicker rechtspfeil y gleich 0 Leerzeichen é s Leerzeichen A. H. Leerzeichen d e Leerzeichen f linke klammer x rechte klammer Leerzeichen e n Leerzeichen e l Leerzeichen plus unendlichkeitszeichen$

$S i Leerzeichen g linke klammer x rechte klammer gleich Klammer öffnen 1 halber Bruch Klammer schließen hoch x Leerzeichen dicker rechtspfeil Limes als x rechtspfeil minus unendlichkeitszeichen von g linke klammer x rechte klammer Leerzeichen gleich Limes als x rechtspfeil minus unendlichkeitszeichen von Klammer öffnen 1 halber Bruch Klammer schließen hoch x gleich Klammer öffnen 1 halber Bruch Klammer schließen hoch minus unendlichkeitszeichen Endexponent gleich 1 geteilt durch Klammer öffnen 1 halber Bruch Klammer schließen hoch unendlichkeitszeichen gleich 1 geteilt durch 0 gleich plus unendlichkeitszeichen Leerzeichen dicker rechtspfeil N o Leerzeichen h i Leerzeichen h a Leerzeichen Leerzeichen A. H. Leerzeichen d e Leerzeichen f linke klammer x rechte klammer Leerzeichen e n Leerzeichen e l Leerzeichen minus unendlichkeitszeichen$

$S i Leerzeichen f linke klammer x rechte klammer gleich Zähler e hoch x geteilt durch Nenner x im Quadrat minus x Bruchergebnis dicker rechtspfeil Limes als x rechtspfeil plus unendlichkeitszeichen von f linke klammer x rechte klammer Leerzeichen gleich Limes als x rechtspfeil plus unendlichkeitszeichen von Leerzeichen Zähler e hoch x geteilt durch Nenner x im Quadrat minus x Bruchergebnis gleich Zähler e hoch plus unendlichkeitszeichen Endexponent geteilt durch Nenner plus unendlichkeitszeichen Bruchergebnis gleich unendlichkeitszeichen geteilt durch unendlichkeitszeichen Leerzeichen gleich Leerzeichen i n d e t e r m i n a c i ó. Leerzeichen P e r ò Leerzeichen e hoch x Leerzeichen é s Leerzeichen u n a Leerzeichen f u n c i ó Leerzeichen q u e Leerzeichen t e n d e i x Leerzeichen m é s Leerzeichen r à p i d a m e n t Leerzeichen c a p Leerzeichen a Leerzeichen i n f i n i t Leerzeichen p e r Leerzeichen tan t Limes als x rechtspfeil plus unendlichkeitszeichen von Leerzeichen Zähler e hoch x geteilt durch Nenner x im Quadrat minus x Bruchergebnis gleich Zähler e hoch plus unendlichkeitszeichen Endexponent geteilt durch Nenner plus unendlichkeitszeichen Bruchergebnis gleich plus unendlichkeitszeichen Leerzeichen dicker rechtspfeil N o Leerzeichen h i Leerzeichen h a Leerzeichen Leerzeichen A. H. Leerzeichen d e Leerzeichen f linke klammer x rechte klammer Leerzeichen e n Leerzeichen e l Leerzeichen plus unendlichkeitszeichen$

$S i Leerzeichen f linke klammer x rechte klammer gleich Zähler e hoch x geteilt durch Nenner x im Quadrat minus x Bruchergebnis dicker rechtspfeil Limes als x rechtspfeil minus unendlichkeitszeichen von f linke klammer x rechte klammer Leerzeichen gleich Limes als x rechtspfeil minus unendlichkeitszeichen von Leerzeichen Zähler e hoch x geteilt durch Nenner x im Quadrat minus x Bruchergebnis gleich Zähler e hoch minus unendlichkeitszeichen Endexponent geteilt durch Nenner plus unendlichkeitszeichen Bruchergebnis gleich Zähler 1 geteilt durch Nenner e hoch unendlichkeitszeichen mal unendlichkeitszeichen Bruchergebnis Leerzeichen gleich Leerzeichen 1 geteilt durch unendlichkeitszeichen gleich 0. Leerzeichen y gleich 0 Leerzeichen é s Leerzeichen Leerzeichen A. H. Leerzeichen d e Leerzeichen f linke klammer x rechte klammer Leerzeichen e n Leerzeichen e l Leerzeichen minus unendlichkeitszeichen$

Asímptotes verticals

Com podem trobar les asímptotes verticals d'una funció?

Una funció té una asímptota vertical en x = a quan $Limes als x rechtspfeil a von f linke klammer x rechte klammer gleich unendlichkeitszeichen$

Majoritàriament, els possibles valors de x on pot passar això són els punts que no són del domini i els punts que sent del domini hi ha algun límit lateral que dóna ∞

Un cop detectats aquests punts cal comprovar que $Limes als x rechtspfeil a von f linke klammer x rechte klammer gleich unendlichkeitszeichen$ .

Per poder dibuixar la gràfica de la funció al voltant d'aquesta asímptota, cal fer els límits laterals. I en funció del resultat podem saber com van les branques de l'asímptota.

Exemple 1:

$f linke klammer x rechte klammer gleich Zähler x geteilt durch Nenner x minus 2 Bruchergebnis$

En primer lloc busquem el domini. Dom(f(x))= $gerade reelle Zahlen minus linke geschweifte klammer 2 rechte geschweifte klammer$

Per tant ara mirem si hi ha asímptota en x=2

öffnen Tabellenattribute Spaltenausrichtung right Ende Attribute Zeile Zelle Limes als x rechtspfeil 2 hoch plus von Zähler x geteilt durch Nenner x minus 2 Bruchergebnis gleich 2 geteilt durch 0 hoch plus gleich plus unendlichkeitszeichen Ende Zelle Zeile Zelle Limes als x rechtspfeil 2 hoch minus von Zähler x geteilt durch Nenner x minus 2 Bruchergebnis gleich 2 geteilt durch 0 hoch minus gleich minus unendlichkeitszeichen Ende Zelle Ende Tabelle geschweifte Klammern schließen rechtspfeil bold italic S bold italic í fett Leerzeichen bold italic x fett gleich fett 2 fett Leerzeichen bold italic é bold italic s fett Leerzeichen bold italic A fett. bold italic V

Exemple 2:

$f linke klammer x rechte klammer gleich Zähler minus x geteilt durch Nenner x minus 2 Bruchergebnis$

En primer lloc busquem el domini. Dom(f(x))= $gerade reelle Zahlen minus linke geschweifte klammer 2 rechte geschweifte klammer$

Per tant ara mirem si hi ha asímptota en x=2

öffnen Tabellenattribute Spaltenausrichtung right Ende Attribute Zeile Zelle Limes als x rechtspfeil 2 hoch plus von Zähler minus x geteilt durch Nenner x minus 2 Bruchergebnis gleich Zähler minus 2 geteilt durch Nenner 0 hoch plus Bruchergebnis gleich minus unendlichkeitszeichen Ende Zelle Zeile Zelle Limes als x rechtspfeil 2 hoch minus von Zähler minus x geteilt durch Nenner x minus 2 Bruchergebnis gleich Zähler minus 2 geteilt durch Nenner 0 hoch minus Bruchergebnis gleich plus unendlichkeitszeichen Ende Zelle Ende Tabelle geschweifte Klammern schließen rechtspfeil bold italic S bold italic í fett Leerzeichen bold italic x fett gleich fett 2 fett Leerzeichen bold italic é bold italic s fett Leerzeichen bold italic A fett. bold italic V

Exemple 3:

$f linke klammer x rechte klammer gleich x geteilt durch Klammer öffnen x minus 2 Klammer schließen im Quadrat$

En primer lloc busquem el domini. Dom(f(x))= $gerade reelle Zahlen minus linke geschweifte klammer 2 rechte geschweifte klammer$

Per tant ara mirem si hi ha asímptota en x=2

öffnen Tabellenattribute Spaltenausrichtung right Ende Attribute Zeile Zelle Limes als x rechtspfeil 2 hoch plus von x geteilt durch Klammer öffnen x minus 2 Klammer schließen im Quadrat gleich 2 geteilt durch 0 hoch plus gleich plus unendlichkeitszeichen Ende Zelle Zeile Zelle Limes als x rechtspfeil 2 hoch minus von x geteilt durch Klammer öffnen x minus 2 Klammer schließen im Quadrat gleich 2 geteilt durch 0 hoch plus gleich plus unendlichkeitszeichen Ende Zelle Ende Tabelle geschweifte Klammern schließen rechtspfeil bold italic S bold italic í fett Leerzeichen bold italic x fett gleich fett 2 fett Leerzeichen bold italic é bold italic s fett Leerzeichen bold italic A fett. bold italic V

Exemple 4:

$f linke klammer x rechte klammer gleich Zähler minus x geteilt durch Nenner Klammer öffnen x minus 2 Klammer schließen im Quadrat Bruchergebnis$

En primer lloc busquem el domini. Dom(f(x))= $gerade reelle Zahlen minus linke geschweifte klammer 2 rechte geschweifte klammer$

Per tant ara mirem si hi ha asímptota en x=2

öffnen Tabellenattribute Spaltenausrichtung right Ende Attribute Zeile Zelle Limes als x rechtspfeil 2 hoch plus von Zähler minus x geteilt durch Nenner Klammer öffnen x minus 2 Klammer schließen im Quadrat Bruchergebnis gleich Zähler minus 2 geteilt durch Nenner 0 hoch plus Bruchergebnis gleich minus unendlichkeitszeichen Ende Zelle Zeile Zelle Limes als x rechtspfeil 2 hoch minus von Zähler minus x geteilt durch Nenner Klammer öffnen x minus 2 Klammer schließen im Quadrat Bruchergebnis gleich Zähler minus 2 geteilt durch Nenner 0 hoch plus Bruchergebnis gleich minus unendlichkeitszeichen Ende Zelle Ende Tabelle geschweifte Klammern schließen rechtspfeil bold italic S bold italic í fett Leerzeichen bold italic x fett gleich fett 2 fett Leerzeichen bold italic é bold italic s fett Leerzeichen bold italic A fett. bold italic V

Exemple 5:

$f linke klammer x rechte klammer gleich Zähler x minus 1 geteilt durch Nenner x im Quadrat minus 1 Bruchergebnis$

En primer lloc busquem el domini. Dom(f(x))= $gerade reelle Zahlen minus linke geschweifte klammer minus 1 Komma Leerzeichen 1 rechte geschweifte klammer$

Per tant en primer lloc mirem si hi ha asímptota en x = 1

$Limes als x rechtspfeil 1 von Zähler x minus 1 geteilt durch Nenner x im Quadrat minus 1 Bruchergebnis gleich 0 geteilt durch 0 i n d e t Leerzeichen gleich Limes als x rechtspfeil 1 von Zähler aufwärtsdiagonal Strike linke klammer x minus 1 rechte klammer Strikeende geteilt durch Nenner aufwärtsdiagonal Strike linke klammer x minus 1 rechte klammer Strikeende linke klammer x plus 1 rechte klammer Bruchergebnis gleich 1 halber Bruch dicker rechtspfeil bold italic N bold italic o fett Leerzeichen bold italic h bold italic i fett Leerzeichen bold italic h bold italic a fett Leerzeichen bold italic A bold italic V fett Leerzeichen bold italic e bold italic n fett Leerzeichen bold italic x fett gleich fett 1$

En segon lloc mirem si hi ha asímptota en x = -1

$öffnen Tabellenattribute Spaltenausrichtung right Ende Attribute Zeile Zelle Limes als x rechtspfeil minus 1 hoch plus von Zähler x minus 1 geteilt durch Nenner x im Quadrat minus 1 Bruchergebnis gleich Zähler minus 2 geteilt durch Nenner 0 hoch minus Bruchergebnis gleich plus unendlichkeitszeichen Ende Zelle Zeile Zelle Limes als x rechtspfeil minus 1 hoch minus von Zähler x minus 1 geteilt durch Nenner x im Quadrat minus 1 Bruchergebnis gleich Zähler minus 2 geteilt durch Nenner 0 hoch plus Bruchergebnis gleich minus unendlichkeitszeichen Ende Zelle Ende Tabelle geschweifte Klammern schließen dicker rechtspfeil bold italic S bold italic í fett Leerzeichen bold italic h bold italic i fett Leerzeichen bold italic h bold italic a fett Leerzeichen bold italic A bold italic V fett Leerzeichen bold italic e bold italic n fett Leerzeichen bold italic x fett gleich fett minus fett 1$

Asímptotes obliqües

Com puc saber si una funció té una asímptota obliqua?

Per saber si una funció f(x) té una asímptota obliqua (A.O)cal seguir els següents passos:

1.- Fer el $Limes als x rechtspfeil unendlichkeitszeichen von Zähler f linke klammer x rechte klammer geteilt durch Nenner x Bruchergebnis$ aleshores :

Si dóna ∞ aleshores no hi ha A.O. En aquest cas ja no cal seguir
Si dóna 0 vol dir que és una recta horitzontal (pendent 0) i per tant ja hauria sortit al buscar asímptotes horitzontals. En aquest cas ja no cal seguir
En qualsevol altre cas dóna un nombre real. Aquest nombre serà la pendent de l'A.O i l'anomenarem $m gleich Leerzeichen Stapel lim Leerzeichen Leerzeichen mit x rechtspfeil unendlichkeitszeichen darunter Zähler f linke klammer x rechte klammer geteilt durch Nenner x Bruchergebnis$

2.- Fer el $Stapel lim Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen mit x rechtspfeil unendlichkeitszeichen darunter f linke klammer x rechte klammer minus m x$ aleshores :

Si dóna ∞ aleshores no hi ha A.O. En aquest cas ja no cal seguir
En qualsevol altre cas dóna un nombre real. Aquest nombre serà l'ordenada a l'origen de l'A.O i l'anomenarem $b gleich Leerzeichen Stapel lim Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen mit x rechtspfeil unendlichkeitszeichen darunter f linke klammer x rechte klammer minus m x$

3.- Un cop hem trobat m i b l'asímptota obliqua serà la recta que té per equació $Feld eingeschlossen y gleich m x plus b Ende$

Exemple 1:

Sigui $f linke klammer x rechte klammer gleich Zähler 2 x minus 5 x im Quadrat geteilt durch Nenner x minus 2 Bruchergebnis$

$1. Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen m gleich Limes als x rechtspfeil unendlichkeitszeichen von Zähler Zähler 2 x minus 5 x im Quadrat geteilt durch Nenner x minus 2 Bruchergebnis geteilt durch Nenner x Bruchergebnis gleich Limes als x rechtspfeil unendlichkeitszeichen von Zähler 2 x minus 5 x im Quadrat geteilt durch Nenner x im Quadrat minus 2 x Bruchergebnis gleich minus 5 rechtspfeil$ pot haver-hi A.O. Per tant seguim amb el pas 2 $2. Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen b gleich Stapel lim Leerzeichen Leerzeichen mit x rechtspfeil unendlichkeitszeichen darunter Leerzeichen Zähler 2 x minus 5 x im Quadrat geteilt durch Nenner x minus 2 Bruchergebnis minus linke klammer minus 5 x rechte klammer gleich Stapel lim Leerzeichen Leerzeichen mit x rechtspfeil unendlichkeitszeichen darunter Leerzeichen Zähler 2 x minus 5 x im Quadrat geteilt durch Nenner x minus 2 Bruchergebnis plus Zähler 5 x linke klammer x minus 2 rechte klammer geteilt durch Nenner x minus 2 Bruchergebnis gleich Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Stapel lim Leerzeichen Leerzeichen mit x rechtspfeil unendlichkeitszeichen darunter Leerzeichen Zähler 2 x minus 5 x im Quadrat geteilt durch Nenner x minus 2 Bruchergebnis plus Zähler 5 x im Quadrat minus 10 x geteilt durch Nenner x minus 2 Bruchergebnis gleich Stapel lim Leerzeichen Leerzeichen mit x rechtspfeil unendlichkeitszeichen darunter Leerzeichen Zähler 2 x minus 5 x im Quadrat plus 5 x im Quadrat minus 10 x geteilt durch Nenner x minus 2 Bruchergebnis gleich Stapel lim Leerzeichen Leerzeichen mit x rechtspfeil unendlichkeitszeichen darunter Leerzeichen Zähler minus 8 x geteilt durch Nenner x minus 2 Bruchergebnis gleich minus 8$

Per tant la recta $Leerzeichen Feld eingeschlossen Leerzeichen y gleich minus 5 x minus 8 Leerzeichen Ende$ és A.O de la funció f(x)

Exemple 2:

Sigui $g linke klammer x rechte klammer gleich Zähler 2 x minus 5 geteilt durch Nenner x minus 2 Bruchergebnis$

$1. Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen m gleich Limes als x rechtspfeil unendlichkeitszeichen von Zähler Zähler 2 x minus 5 geteilt durch Nenner x minus 2 Bruchergebnis geteilt durch Nenner x Bruchergebnis gleich Limes als x rechtspfeil unendlichkeitszeichen von Zähler 2 x minus 5 x geteilt durch Nenner x im Quadrat minus 2 x Bruchergebnis gleich 0 rechtspfeil$ No hi ha A.O. per tant no cal seguir amb el pas 2

Exemple 3:

Sigui $h linke klammer x rechte klammer gleich Zähler 2 x hoch drei geteilt durch Nenner x minus 2 Bruchergebnis$

$1. Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen m gleich Limes als x rechtspfeil unendlichkeitszeichen von Zähler Zähler 2 x hoch drei geteilt durch Nenner x minus 2 Bruchergebnis geteilt durch Nenner x Bruchergebnis gleich Limes als x rechtspfeil unendlichkeitszeichen von Zähler 2 x hoch drei geteilt durch Nenner x im Quadrat minus 2 x Bruchergebnis gleich unendlichkeitszeichen Leerzeichen rechtspfeil$ No hi ha A.O. per tant no cal seguir amb el pas 2

Resum conceptes bàsics del Lliurament 1

Beschreibung

Inhaltsverzeichnis

LÍMITS. Concepte

És el mateix límit que imatge?

Càlcul del límit d'una funció en un punt

Càlcul de límits en una funció a trossos

Límits laterals

Càlcul del límit d'una funció en el infinit

Esdeveniments possibles en el càlcul de límits

Indeterminacions

Resolució indeterminació 0/0

Resolució indeterminació ∞/∞

Resolució indeterminació ﻿∞ - ∞

Resolució indeterminació 0 ·﻿∞

Resolució indeterminació 1∞

Resolució indeterminació 1∞ (per fórmula)

ASÍMPTOTES. Concepte

Asímptotes horitzontals

Asímptotes verticals

Asímptotes obliqües

Resolució indeterminació ∞ - ∞

Resolució indeterminació 0 ·∞