Anterior
Següent

Probabilitat condicionada

De vegades quan calculem una probabilitat, partim ja d'una informació prèvia, és a dir sabem que es donen certes condicions.

En aquesta cas parlem de probabilitat condicionada.

És a dir, si volem calcular la probabilitat d'un cert esdeveniment A però ja sabem que ha passat un cert esdeveniment B li diem probabilitat de A condicionada a B i això ho notem així: bold italic P negreta parèntesi esquerre bold italic A negreta dividit per bold italic B negreta parèntesi dret.

(Observem que a dalt escrivim el succés del qual volem calcular la probabilitat  i a baix el succés que ja sabem que es dóna , "la condició", escriure-ho bé és molt important)

Per calcular la probabilitat condicionada tenim:

envoltori caixa negreta P negreta parèntesi esquerre negreta A negreta dividit per negreta B negreta parèntesi dret negreta igual fracció numerador negreta P negreta parèntesi esquerre negreta A negreta intersecció negreta B negreta parèntesi dret entre denominador negreta P negreta parèntesi esquerre negreta B negreta parèntesi dret fi fracció fi envoltori coma espai e s s e n t espai P parèntesi esquerre B parèntesi dret no igual 0

Observem que al numerador escrivim la probabilitat de que passin els dos successos alhora, la intersecció,  i al denominador la probabilitat de la condició.

D'aquesta relació n'obtenim una forma de calcular la probabilitat de la intersecció.

negreta P negreta parèntesi esquerre negreta A negreta intersecció negreta B negreta parèntesi dret negreta igual negreta P negreta parèntesi esquerre negreta A negreta dividit per negreta B negreta parèntesi dret negreta per bold italic P negreta parèntesi esquerre bold italic B negreta parèntesi dret   

Com la intersecció de A i B és la mateixa que la de B i A tenim que  P parèntesi esquerre A intersecció B parèntesi dret igual P parèntesi esquerre B intersecció A parèntesi dret  i això ens permet invertir les condicions si cal , segons l'enunciat.

                 negreta P negreta parèntesi esquerre negreta A negreta intersecció negreta B negreta parèntesi dret negreta igual negreta P negreta parèntesi esquerre negreta B negreta dividit per negreta A negreta parèntesi dret negreta per bold italic P negreta parèntesi esquerre bold italic A negreta parèntesi dret negreta espai negreta espai s i espai P parèntesi esquerre A parèntesi dret no igual 0  

Independència

Direm que dos successos són independents si el fet que passi un d'ells no afecta en absolut a que passi l'altre. 

Lligant això amb la probabilitat condicionada, si dos successos són independents, la probabilitat de que ocorri un d'ells no depèn de cap condició de l'altra, és per això que en aquest cas P(A/B)= P(A)   o P(B/A)= P(B).
Llavors la probabilitat de la intersecció és producte de probabilitats. Observem com quedaria la fórmula condicionada d'abans.

normal P parèntesi esquerre normal A dividit per normal B parèntesi dret igual P parèntesi esquerre A parèntesi dret espai s i espai s ó n espai i n d e p e n d e n t s coma espai p e r espai tan t espai espai P parèntesi esquerre A parèntesi dret igual fracció numerador normal P parèntesi esquerre normal A intersecció normal B parèntesi dret entre denominador normal P parèntesi esquerre normal B parèntesi dret fi fracció espai espai i espai a ï l l a n t espai d apòstrof a q u í espai e l espai n u m e r a d o r espai t e n i m dos punts
negreta P negreta parèntesi esquerre negreta A negreta intersecció negreta B negreta parèntesi dret negreta igual bold italic P negreta parèntesi esquerre bold italic A negreta parèntesi dret negreta espai negreta per negreta espai negreta P negreta parèntesi esquerre bold italic B negreta parèntesi dret negreta espai s i espai A espai i espai B espai s ó n espai i n d e p e n d e n t s    

Exemple:
Considerem dos experiments que es fan alhora:
llancem una moneda (cara-creu) i llancem un dau de parxís, suposem els dos objectes perfectes. Fem algunes preguntes sobre aquests dos experiments.
  • Quina serà la probabilitat de treure cara en tirar la moneda?
P parèntesi esquerre t r e u r e espai c a r a parèntesi dret igual 1 mig igual 0 coma 5

  • Quina serà la probabilitat que surti un 1 en el dau?
  • P parèntesi esquerre t r e u r e espai u n espai 1 espai a l espai d a u parèntesi dret igual fracció 1 entre 6 igual 0 coma 1 6 amb parèntesis superior a sobre
  • Quina és  la probabilitat de treure cara a la moneda estil mida 20px i fi estil un 1 al dau?

Observem que aquesta i ens està indicant, la intersecció, la probabilitat que passin les dues coses alhora. Però hi ha relació entre la tirada de la moneda i el dau? L'enunciat no diu res, per tant es tracta de dos esdeveniments independents i per tant la probabilitat de la intersecció serà el producte de les dues.

P parèntesi esquerre t r e u r e espai c a r a espai i espai 1 parèntesi dret espai igual P parèntesi esquerre t r e u r e espai c a r a intersecció t r e u r e espai 1 parèntesi dret igual P parèntesi esquerre t r e u r e espai c a r a parèntesi dret per P parèntesi esquerre t r e u r e espai 1 parèntesi dret igual 1 mig per fracció 1 entre 6 igual fracció 1 entre 12 igual 0 coma 08 3 amb parèntesis superior a sobre


  • Quina és la probabilitat de que surti un 1 al dau si sabem que a la moneda ha sortir cara?

Aquestes paraules "si sabem" ens estan indicant una condició, això ja passa. Per tant ens estan fent una pregunta d'una probabilitat condicionada. Ara bé, li afectarà a la tirada del dau el què hagi passat amb la moneda? No, són dos successos independents, per tant:
P parèntesi esquerre t r e u r e espai 1 espai a l espai d a u dividit per c a r a espai a espai m o n e d a parèntesi dret igual P parèntesi esquerre 1 espai a l espai d a u parèntesi dret igual fracció 1 entre 6 igual 0 coma 1 6 amb parèntesis superior a sobre

Anterior
Següent